Utente:Poeta60/Meccanica del continuo

Il Continuo di Cauchy è il modello di corpo continuo definito nella prima metà del '800 dal famoso matematico Augustin-Louis Cauchy. Esso è il modello di corpo continuo (solido e fluido) più importante tanto che spesso Meccanica del continuo è sinonimo di meccanica del continuo di Cauchy. Tale modello riveste un ruolo cruciale in Meccanica dei solidi ed in Scienza delle costruzioni, improntandone sui suoi termini gran parte del linguaggio, e dove viene utilizzato sia direttamente che per ottenere modelli strutturali ancora più semplificati: continui bidimensionali (piastre, lastre, gusci, ecc), continui monodimensionali (travi), modelli discreti. Esso plasma, infine, lo studio della meccanica dei fluidi e dell'idraulica.

Continuo tridimensionale di Cauchy

Cinematica

Configurazione di riferimento e deformata del continuo di Cauchy

La meccanica del continuo studia le condizioni di moto e di equilibrio di oggetti naturali identificabili come corpi continui. In particolare la cinematica analizza il moto e la deformazione di un corpo continuo prescindendo dalle cause che lo determinano. A tal fine è essenziale introdurre la nozione di corpo continuo e di moto. In Meccanica tali nozioni sono assunte come concetti primitivi, cioè si rinuncia a darne di essi una definizione in termini di altre quantità note. Per converso, quando del corpo continuo e del suo moto si cerca di costruire un modello matematico, si devono definire con estrema precisione gli enti matematici che li descrivono.

Configurazione e moto

Un sistema materiale potrà riguardarsi come continuo (secondo Cauchy) se è possibile identificare i suoi elementi P (le particelle o punti materiali del sistema) con i punti geometrici di una regione regolare ${\mathcal {B}}$ dello spazio tridimensionale euclideo ${\mathcal {E}}$ (lo spazio fisico). Tale regione è detta configurazione del corpo. Sottoregioni limitate e regolari di ${\mathcal {B}}$, per le quali assume validità il teorema della divergenza, sono dette parti del corpo. E' spesso utile scegliere una particolare configurazione ${\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$ ed identificare ogni punto materiale del corpo con la sua posizione ${\mathbf {X} }$ in tale configurazione, che sarà detta configurazione di riferimento. Se nella configurazione di riferimento si sceglie un sistema di coordinate cartesiane, il punto materiale ${\mathbf {X} }$ è individuato dalle relative coordinate $(X_{1},X_{2},X_{3})\!$, dette coordinate materiali o referenziali.

In una diversa configurazione del corpo, un generico punto materiale ${\mathbf {X} }$ occupa una posizione diversa ${\mathbf {x} }$. In termini matematici, la nuova configurazione è descritta dalla funzione vettoriale (detta anche trasporto)

${\mathbf {x} }={\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} })$

che lega le diverse posizioni (nella configurazione di riferimento e nella nuova configurazione ) dei punti del corpo, tale che la nuova configurazione risulti l'immagine secondo ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ della configurazione di riferimento.

E' chiaro che per poter rappresentare una variazione di configurazione l'applicazione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ deve possedere proprietà matematiche adatte a tradurre alcuni fondamentali requisiti di plausibilità fisica. Occorre infatti che i punti materiali conservino la loro individualità, senza lacerazioni o compenetrazioni di materia di cui il corpo è costituito, cioè che:

1. ad un punto della configurazione di riferimento corrisponda uno ed un sol punto nella nuova configurazione (e viceversa)
2. a punti arbitrariamente vicini nella configurazione di riferimento, corrispondano punti arbitrariamente vicini nella nuova configurazione (e viceversa).

Dal punto di vista matematico, questi requisiti si traducono in precise restrizioni sulla applicazione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$:

1. l'applicazione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ deve essere biunivoca, cioè deve esistere una funzione inversa ${\boldsymbol {\chi }}^{-1}(\cdot )$ tale da realizzare una corrispondenza biunivoca tra i punti della configurazione di riferimento e quelli della nuova configurazione

   ${\mathbf {x} }={\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} })\;\;,\;\;{\mathbf {X} }={\boldsymbol {\chi }}^{-1}({\mathbf {x} })$

2. l'applicazione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$, assieme alla sua inversa ${\boldsymbol {\chi }}^{-1}(\cdot )$ , deve essere continua.

Si richiede inoltre che la funzione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ sia sufficientemente regolare, cioè sia differenziabile con continuità fino all'ordine necessario a dare senso alle manipolazioni matematiche che occorrerà eseguire. In particolare, esistono e sono funzioni continue le derivate parziali di ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ ed esiste il gradiente della deformazione ${\mathbf {F} }={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} })$, un tensore del secondo ordine nonsingolare (come conseguenza della proprietà di invertibilità dell'applicazione ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ ) e con determinante (lo jacobiano di ${\boldsymbol {\chi }}(\cdot )$ ) positivo.

Un cambiamento di configurazione è il risultato di uno spostamento del corpo. Il moto di un corpo è una sequenza continua di spostamenti che portano il corpo ad occupare diverse configurazioni al variare dell'istante di tempo t. Esso è pertanto descritto da una applicazione del tipo

${\mathbf {x} }={\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} },t)$

che si assume sufficientemente regolare rispetto al parametro temporale. In un moto del corpo la configurazione da esso occupato al tempo t=0 è detta configurazione iniziale: essa spesso si identifica con la configurazione di riferimento. E' detta configurazione corrente quella occupata al generico istante t.

Quantità derivate dal concetto di moto (quindi quantità non primitive) sono i campi vettoriali di velocità e di accelerazione

${\mathbf {v} }({\mathbf {X} },t)={\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} },t)\;\;\;,\;\;\;{\mathbf {a} }({\mathbf {X} },t)={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {v} }({\mathbf {X} },t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} },t)$

che danno una misura rispettivamente della variazione di posizione e di velocità del generico punto materiale al generico istante di tempo t.

Nella rappresentazione data dei due campi vettoriali , il generico punto materiale è identificato con la sua posizione ${\mathbf {X} }$ nella configurazione di riferimento: questa è detta descrizione materiale o lagrangiana dei campi vettoriali ${\mathbf {v} }$ e ${\mathbf {a} }$. Un punto materiale può anche essere rappresentato con la sua posizione ${\mathbf {x} (t)}$ nella configurazione corrente, identificata con le relative coordinate $(x_{1},x_{2},x_{3})\!$ dette coordinate spaziali del punto. La relativa rappresentazione dei campi vettoriali di velocità ed accelerazione

${\mathbf {v} }({\mathbf {x} }(t),t)\;\;\;,\;\;\;{\mathbf {a} }({\mathbf {x} }(t),t)$

è detta descrizione spaziale o euleriana. Tale tipo di descrizione assume particolare importanza in meccanica dei fluidi, dove l'uso di una specifica configurazione di riferimento ha poco significato in quanto i fluidi non posseggono una naturale geometria. Tale descrizione è utilizzabile per un qualsiasi altro tipo di campo (scalare, vettoriale, etc) assegnato sui punti del corpo.

Deformazione

L'analisi della deformazione consiste nello studio della applicazione ${\mathbf {x} }={\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} })$ che porta il corpo dalla configurazione iniziale indeformata alla configurazione attuale deformata o, il che è lo stesso, nello studio dello spostamento prodotto misurato dal campo vettoriale ${\mathbf {u} }({\mathbf {X} })$ così definito:

${\mathbf {u} }({\mathbf {X} })={\mathbf {x} }({\mathbf {X} })-{\mathbf {X} }$

In particolare è importante studiare la deformazione di un intorno di un generico punto materiale, cioè di una piccola porzione del corpo prossima al punto considerato. Al tal fine un concetto derivato (dal concetto di configurazione e trasporto) molto utile è il gradiente della deformazione

${\mathbf {F} }={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\chi }}({\mathbf {X} })\;\;\;({\mathbf {F} }={\mathbf {I} }+{\boldsymbol {\nabla }}{\mathbf {u} }({\mathbf {X} })\;\;$ con riferimento al gradiente del campo ${\mathbf {u} }({\mathbf {X} }))$

Il gradiente della deformazione è una misura della deformazione di un intorno di un generico punto in quanto, per definizione di gradiente, permette di approssimare il trasporto dei punti $\mathbf {X+dX}$ appartenenti all'intorno del punto ${\mathbf {X} }$ mediante la

${\boldsymbol {\chi }}[{\mathbf {X} }+{\mbox{d}}{\mathbf {X} }]\approx {\boldsymbol {\chi }}[{\mathbf {X} }]+{\mathbf {F} }[{\mathbf {X} }]\,{\mbox{d}}{\mathbf {X} }$

ovvero di rappresentare la trasformazione subita da un segmento orientato appartenente all'intorno dalla configurazione indeformata $\mathbf {dX}$ alla configurazione deformata $\mathbf {dx} ={\boldsymbol {\chi }}[\mathbf {X+dX} ]-{\boldsymbol {\chi }}[{\mathbf {X} }]$

$\mathbf {dx} ={\mathbf {F} }\,\mathbf {dX}$

Tale trasformazione è data dalla composizione di una rotazione rigida del segmento e di una sua variazione di lunghezza (la deformazione pura). Il teorema di decomposizione polare permette di valutare entrambi i contributi, assicurando che esistono solo due decomposizioni del tensore ${\mathbf {F} }$

${\mathbf {F} }={\mathbf {R} }{\mathbf {U} }={\mathbf {V} }{\mathbf {R} }$

dove ${\mathbf {F} }$ è un tensore ortogonale della rotazione ed $({\mathbf {U} },{\mathbf {V} })$ sono tensori simmetrici e definiti positivi rappresentativi della deformazione pura subita, detti rispettivamente tensore destro e tensore sinistro della deformazione.

Principi generali (le equazioni di bilancio)

Oltre la nozione di corpo e di moto, in meccanica classica due altre concetti sono assunti come primitivi: la massa e le forze. La massa e le forze sono legati al moto del corpo da alcune leggi generali che vanno sotto il nome di principi fondamentali della meccanica. Questi sono rappresentabili sotto forma di equazioni di bilancio ed hanno sia una caratterizzazione globale (o integrale), che una caratterizzazione locale (o differenziale).

Massa e forze

Forze di massa e di contatto nel continuo di Cauchy

La massa è un concetto atto a rappresentare gli effetti di inerzia sulle parti del corpo. Si assume che ogni parte ${\mathcal {P}}$ del corpo possieda un massa $m({\mathcal {P}})$, definita come un numero reale positivo con la proprietà di continuità assoluta rispetto al volume del corpo, nel senso che al tendere a zero del volume della parte ${\mathcal {P}}$ tende a zero anche la relativa massa. Ciò assicura l'esistenza di una funzione densità di massa $\rho (\cdot )>0$ definita sulla generica configurazione del corpo ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$ , tale che la massa di una sua generica parte ${\mathcal {P}}$ sia misurata dall'integrale di volume

$m({\mathcal {P}})=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}\rho (\cdot )\,dv$

Le forze sono vettori introdotti al fine di descrivere le azioni puramente meccaniche esercitare su una generica parte ${\mathcal {P}}$ del corpo ${\mathcal {B}}$ in una configurazione ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$. Per il continuo di Cauchy si considerano due tipi di forze:

• le forze di massa (o a distanza), applicate ai punti interni di ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$. Sono forze (per esempio di natura elettromagnetica o gravitazionale) indotte a distanza da altri corpi in virtù della massa di ${\mathcal {P}}$;
• le forze di contatto, applicate ai punti della superficie $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ di frontiera di ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ . Sono forze (ad esempio, la pressione del vento e la pressione idrostatica) che agiscono per contatto sulla superficie.

In particolare si assume (ipotesi di Eulero-Cauchy) che le azioni di contatto esauriscano le interazioni tra le diverse parti del corpo e che quindi le azioni di massa siano solo di tipo esterno, in quanto originate all'esterno del corpo. Inoltre si assume che le azioni di massa siano assolutamente continue rispetto alla massa di ${\mathcal {P}}$. Ciò assicura l'esistenza di una funzione a valori vettoriali ${\mathbf {b} }(\cdot )$ (la forza esterna per unità di massa), definita sulla configurazione attuale di ${\mathcal {B}}$, tale che il risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo ${\mathbf {o} }$ delle forze di massa agenti su ${\mathcal {P}}$ sia misurato dall'integrale di volume

${\mathbf {r} }^{d}({\mathcal {P}})=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}\,\rho \,{\mathbf {b} }({\mathbf {x} })\,dv\;\;,\;\;{\mathbf {m} }_{o}^{d}[{\mathcal {P}}]=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times \,\rho \,{\mathbf {b} }({\mathbf {x} })\,dv$

Le forze di contatto si assumono assolutamente continue rispetto all'area di contatto. Ciò assicura l'esistenza di una funzione a valori vettoriali ${\mathbf {t} }(\cdot )$ definita sulla configurazione attuale ${\mathcal {B}}$, tale che il risultante e il momento delle forze di contatto agenti sulla parte ${\mathcal {P}}$ sia misurato dall'integrale di superficie sulla frontiera frontiera $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$

${\mathbf {r} }^{c}({\mathcal {P}})=\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}{\mathbf {t} }({\mathbf {x} },\ldots )\,ds\;\;,\;\;{\mathbf {m} }_{o}^{c}[{\mathcal {P}}]=\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times {\mathbf {t} }({\mathbf {x} },\ldots )\,ds$

La funzione ${\mathbf {t} }(\cdot )$, detta densità di forza di contatto o tensione, è in generale funzione, oltre che del punto ${\mathbf {x} }$, anche della forma della superficie di contatto $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$

${\mathbf {t} }={\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})\right)$

In meccanica classica si ammette però la validità del postulato di Cauchy, che definisce la dipendenza da $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ solo attraverso la normale ${\mathbf {n} }$ alla superficie $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ passante per ${\mathbf {x} }$, cioè accettando la semplificazione:

${\mathbf {t} }={\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },{\mathbf {n} }\right)$

Conservazione della massa ed equazione di continuità

La prima equazione di bilancio deriva dal principio di conservazione della massa, ove si afferma che la massa di una generica parte ${\mathcal {P}}$ del corpo non può variare durante il moto del corpo. In termini globali tale equazione è espressa dalla

$m({\mathcal {P}})=\int _{{\mathcal {K}}({\mathcal {P}})}\rho _{K}(\mathbf {X} )\,dV=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\rho (\mathbf {x} ,t)\,dv$

o equivalentemente dalla

${\frac {d}{dt}}\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\rho (\mathbf {x} ,t)\,dv=0$

ove $\rho _{K}(\mathbf {X} )$ è la densità di massa nella configurazione di riferimento e $\rho (\mathbf {x} ,t)$ nella configurazione attuale.

In termini locali tale equazione di bilancio è rappresentata dalla equazioni di continuità espressa in forma lagrangiana dalla

$\rho _{K}(\mathbf {X} )=\rho (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\;J(\mathbf {X} ,t)\;\;,\;\;\forall \mathbf {X} \in {\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$

ed in forma euleriana, facendo uso del concetto di divergenza di un campo vettoriale, dalla

${\frac {d}{dt}}\rho (\mathbf {x} ,t)+\rho (\mathbf {x} ,t)\;\operatorname {div} \,\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=0\;\;,\;\;\forall \mathbf {x} \in {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$

Leggi di Eulero ed equazioni del moto

Le leggi di Eulero sono due equazioni di bilancio che rappresentano, in Meccanica del continuo, l'equivalente delle leggi del moto di Newton. Esse esprimono rispettivamente la legge di conservazione della quantità di moto e la legge di conservazione del momento della quantità di moto, ove per il continuo di Cauchy la quantità di moto ed il momento della quantità di moto (rispetto ad un polo O) sono misurate rispettivamente dalle

$q({\mathcal {P}},t)=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,\rho (\mathbf {x} ,t)\,{\mathbf {v} }(\mathbf {x} ,t)\,dv\;\;\;,\;\;\;h({\mathcal {P}},t)=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times \,\rho (\mathbf {x} ,t)\,{\mathbf {v} }(\mathbf {x} ,t)\,dv$

Postulato l'esistenza di un sistema di riferimento inerziale o galileiano, rispetto a tale sistema le leggi di Eulero impongono che, per ogni parte ${\mathcal {P}}$ e per ogni istante, la derivata temporale della quantità di moto e del momento della quantità di moto (rispetto ad un polo O) eguagliano rispettivamente il risultante delle forze ed il momento risultante delle forze (rispetto allo stesso polo O).

${\frac {d}{dt}}\,q({\mathcal {P}},t)={\mathbf {r} }^{d}({\mathcal {P}},t)+{\mathbf {r} }^{c}({\mathcal {P}},t)\;\;\;,\;\;\;{\frac {d}{dt}}\,h({\mathcal {P}},t)={\mathbf {m} }_{o}^{d}({\mathcal {P}},t)+{\mathbf {m} }_{o}^{c}({\mathcal {P}},t)$

Esse sono quindi espresse in forma integrale dalle (si tralascia di rappresentare la dipendenza delle funzioni da ${\mathbf {x} }$ e dal tempo t)

${\begin{aligned}\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,\rho \,{\mathbf {a} }\,dv&=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,\rho \,{\mathbf {b} }\,dv+\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}{\mathbf {t} }\,ds\\\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times \,\rho \,{\mathbf {a} }\,dv&=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times \,\rho \,{\mathbf {b} }\,dv+\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}({\mathbf {x} }-{\mathbf {o} })\times {\mathbf {t} }\,ds\end{aligned}}$

Importanti corollari della prima legge di Eulero sono il Lemma di Cauchy ed il Teorema di Cauchy:

• il lemma di Cauchy è l'equivalente delle legge di azione e reazione

${\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },-{\mathbf {n} }\right)=-{\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },{\mathbf {n} }\right)$

• il teorema di Cauchy afferma l'esistenza di un Tensore delle Tensioni (Tensore di Cauchy) tale che valga la relazione

${\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },{\mathbf {n} }\right)={\mathbf {T} }\left({\mathbf {x} }\right)\;{\mathbf {n} }$

In termini locali, la prima legge di Eulero è espressa in forma euleriana dal sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali (le equazioni del moto)

${\boldsymbol {\operatorname {div} }}\,\mathbf {T} +\rho \,{\mathbf {b} }=\rho \,{\mathbf {a} }\;\;,\;\;\forall \mathbf {x} \in {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$

Il rispetto della secondo legge di Eulero porta a richiedere che il tensore delle tensioni di Cauchy sia un tensore simmetrico

${\mathbf {T} }^{t}={\mathbf {T} }$

Teorema di bilancio dell'energia meccanica

Un altro importante corollario delle leggi di Eulero è il teorema di bilancio dell'energia meccanica. Relativamente ad una parte ${\mathcal {P}}$ del corpo e ad un istante t, definite le quantità

potenza delle forze esterne

$P({\mathcal {P}},t)=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,\rho \,{\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {v} }\,dv+\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}{\mathbf {t} }\cdot {\mathbf {v} }\,ds$

potenza dello stato di tensione

$W({\mathcal {P}},t)=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,{\mathbf {T} }\cdot {\mbox{grad}}({\mathbf {v} })\,dv$

energia cinetica

$K({\mathcal {P}},t)=\int _{{\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}},t)}\,\rho \,{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {v} }\,dv$

si dimostra, sulla base delle leggi di Eulero, la validità della relazione avente la struttura di un'equazione di bilancio:

${\frac {d}{dt}}K=P-W$

Legami costitutivi

Materiali semplici

Fluidi e solidi

Materiali elastici

Materiali iperelastici

Materiali elastici-lineari

Mat. iperelastici lineari