Teorema della scatola di flusso

In matematica e in particolare in analisi matematica, il teorema della scatola di flusso è un risultato fondamentale nella teoria dei campi vettoriali ed è di particolare interesse nella teoria dei sistemi dinamici. Tale teorema asserisce che preso un campo vettoriale differenziabile e un qualsiasi punto non singolare del campo, in un intorno sufficientemente piccolo del punto il campo è diffeomorfo a un campo costante.

Teorema

Premesse

Sia ${\mathcal {D}}$ un dominio aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ e, detto $k\geq 1$ un intero, sia $v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n})$ un campo vettoriale di classe $C^{k}$ da ${\mathcal {D}}$ a $\mathbb {R} ^{n}.$

Un punto $x\in {\mathcal {D}}$ è singolare per il campo $v$ se $v(x)=0.$

Se $\phi \colon U\subset {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}$ è un $C^{k+1}$-diffeomorfismo, allora il risultato dell'azione di $\phi$ su $v,$ detto push-forward di $v$ tramite $\phi ,$ è un campo vettoriale $\phi _{*}v\colon \phi (U)\to \mathbb {R} ^{n}$ di classe $C^{k}$ così definito $\phi _{*}v(y)=d\phi _{\phi ^{-1}(y)}v(\phi ^{-1}(y))$, dove $d\phi$ è il differenziale di $\phi .$ In questo contesto si dice che il campo $v$ è diffeomorfo al campo $\phi _{*}v$ tramite $\phi .$

Enunciato

Sia $v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n})$ con ${\mathcal {D}}$ un dominio aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ e $k\geq 1$ un intero, e sia ${\bar {x}}\in {\mathcal {D}}$ un punto non singolare per $v$. Allora esiste un intorno $U\subset {\mathcal {D}}$ di ${\bar {x}}$ e un diffeomorfismo $\phi \colon U\to \phi (U)$ tale che il campo $v$ è diffeomorfo tramite $\phi$ al campo costantemente uguale a $e_{1}=(1,0,\ldots ,0).$

Dimostrazione

Sia $H$ un iperpiano (cioè $\dim H=n-1$) passante per ${\bar {x}}$ e trasversale a $v({\bar {x}}).$ A meno di una trasformazione lineare affine si può supporre che ${\bar {x}}=0,$ che $v(0)=\Vert v(0)\Vert e_{1}$ e che $H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot e_{1}=0\}.$

Per il teorema di Cauchy esiste un intorno $V$ di ${\bar {x}}=0$, un intorno $I$ di zero e una funzione $\psi ^{t}\colon I\times V\to {\mathcal {\mathcal {D}}}$ di classe $C^{k+1}$, unica soluzione in $I\times V$ dell'equazione

${\begin{cases}x'=v(x)\\x(0)=z,\end{cases}}$

dove $z$ è un qualsiasi punto di $V$ e $\psi ^{t}(z)$ è l'evoluzione al tempo $t$ della soluzione con punto iniziale $z$. Allora, identificando $H$ con $\mathbb {R} ^{n-1}$ si pone $S:=V\cap H$ ed è ben definita la funzione $\phi \colon I\times S\to {\mathcal {\mathcal {D}}},$ $\phi (y)=\psi ^{t}(\xi )$, avendo usato la notazione $y=(t,\xi )$, con $t\in I$ e $\xi =(\xi _{2},\dots ,\xi _{n})\in S\subset \mathbb {R} ^{n-1}.$

La matrice jacobiana di $\phi$ in 0 è uguale a

$J\phi (0)={\begin{pmatrix}{\displaystyle \Vert v(0)\Vert }&{\textbf {0}}\\{\textbf {0}}&I_{n-1}\end{pmatrix}},$

dove $I_{n-1}$ è la matrice identità e ${\textbf {0}}$ è la matrice nulla. Quindi, per il teorema della funzione inversa, esiste un intorno dell'origine, $W\subset I\times S$, tale che $\phi \colon W\to \phi (W)\subset {\mathcal {D}}$ è un $C^{k}$-diffeomorfismo. Infine, per ogni $x\in \phi (W)$, detto $y=\phi ^{-1}(x),$ si ha

$\phi _{*}e_{1}(x)=d\phi _{y}(e_{1})={\frac {\partial \phi }{\partial y_{1}}}(y)={\frac {\partial \psi ^{t}}{\partial t}}(\xi )=v(\psi ^{t}(\xi ))=v(\phi (y))=v(x).$

Prendendo la prima e l'ultima espressione di questa catena di uguaglianze e applicando $(\phi _{*})^{-1}$ a entrambe si ottiene $(\phi _{*})^{-1}v(x)=e_{1}$. Ricordando che il push-forward commuta con l'inversione, $(\phi _{*})^{-1}=(\phi ^{-1})_{*},$ si ha che $U=\phi (W)$ e quindi il diffeomorfismo cercato è $\phi ^{-1}.$

Corollario

Sia $v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n}),$ con ${\mathcal {D}}$ un dominio aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ e $k\geq 1$ un intero, e sia ${\bar {x}}\in {\mathcal {D}}$ un punto non singolare per $v$. Allora esiste un intorno $U\subset {\mathcal {D}}$ di ${\bar {x}}$ e un diffomorfismo $\phi \colon U\to \phi (U)$ che trasforma le soluzioni di $x'=v(x)$ in $U$ nelle soluzioni di $x'=e_{1}$ in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni della seconda equazione sono rette parallele a $e_{1}.$

Bibliografia

• Annalisa Malusa, Introduzione alle equazioni differenziali oridinarie, La Dotta, 2013.
• Paolo Buttà e Piero Negrini, Note del corso di Sistemi Dinamici (PDF), Roma, Edizioni Nuova Cultura, 2008, pp. 15-16. URL consultato il 10 maggio 2020.