Teorema di Krein-Milman

Lo spazio convesso (in blu) è l'inviluppo convesso dei propri punti estremali (in rosso)

Il teorema di Krein-Milman è una proposizione riguardante gli insiemi convessi in uno spazio vettoriale topologico. Un caso particolare di questo teorema afferma che, dato un poligono convesso, è sufficiente sapere quali sono i suoi angoli per ricostruirne l'immagine intera. L'enunciato è falso però se il poligono non è convesso: in questo caso, ci sono più modi per disegnare un poligono dati gli angoli.

Formalmente, si consideri uno spazio vettoriale topologico localmente convesso $X$, che si assume di Hausdorff. Preso un suo sottinsieme $K$ compatto e convesso, il teorema afferma che esso è l'inviluppo convesso chiuso dei suoi punti estremali.

Hermann Minkowski aveva già dimostrato che in uno spazio di dimensione finita ogni sottinsieme convesso era l'inviluppo convesso dei propri punti estremali. Il teorema di Krein-Milman è una generalizzazione ad arbitrari spazi localmente convessi, con l'aggiunta però della chiusura.

Il teorema prende il nome dai matematici Mark Krejn e David Mil'man.

Enunciato

Sia $X$ uno spazio localmente convesso e $K\subseteq X$ non vuoto, compatto e convesso. Allora:

$Ext(K)\neq \varnothing \qquad ;\qquad K={\overline {co}}(Ext(K))$

dove $Ext(K)$ denota l'insieme dei punti estremali di $K$ e ${\overline {co}}(Ext(K))$ l'inviluppo convesso chiuso di $Ext(K)$.

Un risultato che si deve a Milman mostra che se $T$ è un sottoinsieme di $K$ e l'inviluppo convesso chiuso di $T$ è l'intero $K$, allora ogni punto estremale di $K$ appartiene alla chiusura di $T$.

Il teorema di Choquet-Bishop-de Leeuw stabilisce inoltre che ogni punto in $K$ è il baricentro di una misura di probabilità con supporto sull'insieme degli estremali di $K$.

Nel 2006 Theo Buehler ha mostrato che il teorema di Krein-Milman è valido anche in spazi CAT(0).

Assioma della scelta

Nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma della scelta può essere dimostrato tramite il teorema di Krein-Milman insieme con il teorema degli ideali primi booleani.

Bibliografia

• (EN) M. Krein, D. Milman (1940) On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 133–138.
• (RU) D. Milman, Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества [Characteristics of extremal points of regularly convex sets], in Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 57, 1947, pp. 119–122.
• (EN) H. L. Royden. Real Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1988.
• (EN) N. K. Nikol'skij (Ed.). Functional Analysis I. Springer-Verlag, 1992
• (EN) H. Minkowski. Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig, 1910

Voci correlate

• Assioma della scelta
• Insieme convesso
• Inviluppo convesso
• Punto estremale