Ritmomachia

Rithmomachia
Posizione iniziale dei pezzi
Tipo	gioco da tavolo
Data origine	XI secolo
Regole
N° giocatori	2
Giro	Inizia il Pari
Requisiti
Preparativi	1 minuto
Durata	Non determinata
Aleatorietà	Nessuna

La ritmomachia è un gioco da tavolo a due giocatori, ideato nell'XI secolo nel sud dell'odierna Germania. Fu utilizzato in ambito universitario all'interno dell'insegnamento di materie del Quadrivio.

Storia

Il nome

Il nome risulta composto da due parti di origine greca per indicare una "battaglia di armonie numeriche".

La prima parte è legata sia ad ἀριθμός (arithmos), numero, sia a ῥυθμός (rhythmos), ritmo o proporzione. La seconda parte è data da μαχία (-machia) che indica battaglia, combattimento.

La sovrapposizione dei due termini per la prima parte ha dato origine a varianti nel nome del gioco, che è indicato anche come arithmimachia, rythmimachia e rythmomachia.

La diffusione in Europa

Incisione raffigurante Boezio e Pitagora con allegoria dell'aritmetica

Il gioco nasce nell'XI secolo (si suppone che la data esatta sia il 1030) e inizia ad avere forte interesse tra l'XI e il XII secolo in Francia e Germania. Fu utilizzato in ambito universitario all'interno dell'insegnamento di materie del Quadrivio (aritmetica, geometria, musica e astronomia); i pezzi e le regole vennero costruite principalmente sulla base del De institutione arithmetica e del De institutione musica di Severino Boezio.

La prima testimonianza scritta della rithmomachia risale intorno al 1030, quando un monaco di nome Asilo creò un gioco che illustrava la teoria dei numeri del De Institutione arithmetica di Boezio, per gli studenti delle scuole monastiche.

Le regole del gioco furono migliorate e precisate poco dopo da un altro monaco, Ermanno il Contratto (1013–1054) dell'Isola di Reichenau, e della scuola di Liegi. Nei secoli successivi la rithmomachia si diffuse nelle scuole e nei monasteri del sud della Germania e della Francia. Era usato principalmente come strumento didattico, ma gradualmente gli intellettuali iniziarono a giocarlo per diletto.

Nel corso del XIII secolo, la rithmomachia giunse in Inghilterra e un manuale sarebbe attribuibile al matematico Thomas Bradwardine. Anche Ruggero Bacone avrebbe raccomandato la rithmomachia ai suoi studenti, mentre Tommaso Moro la faceva giocare come forma ricreativa agli abitanti della sua fittizia Utopia

La massima divulgazione si ebbe nel XVI secolo, anche grazie al fatto che le sue regole vengono stampate; nel 1572 Francesco Barozzi ne pubblicò una versione a Venezia, tradotta in tedesco da Augusto di Brunswick-Lüneburg.

Con la modifica dei programmi universitari, a partire dal XVII secolo cadde progressivamente nell'oblio.

Il gioco è parzialmente sopravvissuto aggrappandosi agli ormai molto più popolari scacchi. Lo stesso Augusto di Brunswick-Lüneburg incluse le regole della rithmomachia come appendice in uno dei suoi libri sugli scacchi, e il gioco persistette per qualche tempo in seguito come "scacchi aritmetici" o "dama numerica" come menzione secondaria nei libri di scacchi tedeschi, un curiosità ma raramente giocata. Dall'inizio del XX secolo si è però avuto un nuovo interesse per il gioco.

Regole del gioco

La tavola

La tavola più frequentemente riportata aveva dimensioni di 8 caselle per 16, pari a due scacchiere standard; nell'XI secolo era richiesta una tavola almeno da 8 caselle per 12. Rithmomachia quindi si gioca su una tavola divisa in 128 case organizzate in 16 righe orizzontali (o "traverse") e 8 verticali (o "colonne"): adattando la notazione usuale degli scacchi le traverse saranno numerate qui da 1 a 16 (rispettivamente, base dei pezzi pari e dei dispari), mentre le colonne sono contrassegnate dalle lettere dell'alfabeto da "A" a "H"

I giocatori

Il gioco è giocato da due giocatori indicati come Pari e Dispari e ognuno dispone inizialmente di 30 pezzi con un proprio colore identificativo (distinti tra bianchi e neri oppure tra bianchi e rossi).

I pezzi

Ogni giocatore ha a disposizione 23 pezzi con il proprio colore identificativo ognuno riportante un numero intero e di tre forme diverse (8 circolari, 8 triangolari e 7 quadrati) oltre ad altri pezzi che compongono la piramide che non è un vero e proprio pezzo ma un assemblaggio di pezzi formato impilandoli; a questo scopo il giocatore dispari ha 6 pezzi (2 circolari, 2 triangolari e 2 quadrati) mentre il giocatore pari ha 5 pezzi (1 circolare, 2 triangolari e 2 quadrati). Entrambi gli schieramenti contengono metà pezzi segnati con numeri pari e metà con numeri dispari.

Disposizione del gioco

Il giocatore dispari ha a disposizione i 10 circolari indicati dai numeri 1, 3,4, 5,7,9, 9, 25,49, 81, i 10 triangolari indicati dai numeri 9,12, 16,16, 30, 36,56,64, 90, 100 e i 9 quadrati indicati dai numeri 25, 28, 36, 49, 66, 120, 121,225, 361 e deve disporli nelle caselle 16A il quadrato 49, 16B il quadrato 121, 16G il quadrato 225, 16H il quadrato 361, 15A il quadrato 28, 15B il quadrato 66, 15C il triangolo 36, 15D il triangolo 30 , 15E il triangolo 56, 15F il triangolo 64,15G il quadrato 120, 15H la piramide (formata dai quadrati 36 e 25, dai triangoli 16 e 9 e dai cerchi 4 e 1 e con valore numerico 91),14A il triangolo 16, 14B il triangolo 12, 14C il cerchio 9, 14D il cerchio 25, 14E il cerchio 49, 14F il cerchio 81,14G il triangolo 90, 14H il triangolo 100,13C il cerchio 3, 13D il cerchio 5, 13E il cerchio 7, 13F il cerchio 9.

Il giocatore pari ha a disposizione i 9 circolari indicati dai numeri 2, 4,4,6, 8,16,16 ,36,64, i 10 triangolart indicati dai numeri 6, 9,20,25, 42, 49,49,64,72, 81 e i 9 quadrati indicati dai numeri 15, 25, 45,49,64 81, 153, 169, 289 e deve disporli nelle caselle 1A il quadrato 289, 1B il quadrato 169, 1G il quadrato 81, 1H il quadrato 25, 2A il quadrato 153, 2B la piramide (formata dai quadrati 64 e 49, dai triangoli 36 e 25 e dal cerchio 16 e con valore numerico 180), 2C il triangolo 49, 2D il triangolo 42, 2E il triangolo 20, 2F il triangolo 25, 2G il quadrato 45, 2H il quadrato 15, 3A il triangolo 81, 3B il triangolo 72, 3C il cerchio 64, 3D il cerchio 36, 3E il cerchio 16, 14F il cerchio 4, 3G il triangolo 6, 3H il triangolo 9, 4C il cerchio 8, 4D il cerchio 6, 4E il cerchio 4 e 4F il cerchio 2.

Movimento dei pezzi

Ci sono quattro tipi di pezzi.

• Cerchi: i cerchi si muovono di una casella in una qualsiasi delle quattro diagonali.
• Triangoli: i triangoli possono muoversi esattamente di due caselli verticalmente o orizzontalmente, ma non diagonalmente.
• Quadrati: i quadrati possono muoversi esattamente di tre casell verticalmente o orizzontalmente, ma non diagonalmente.
• Piramidi: le piramidi non sono in realtà un pezzo unico, ma una combinazione di pezzi. La piramide bianca è composta da un quadrato "36", un quadrato "25", un triangolo "16", un triangolo "9", un cerchio "4" e un cerchio "1", per un totale pari al valore della piramide di 91. La piramide nera è composta da un quadrato "64", un quadrato "49", un triangolo "36", un triangolo "25" e un cerchio "16", che sommati danno al valore della piramide di 190 Questi valori irregolari rendono difficile la loro cattura con la maggior parte dei metodi di cattura elencati di seguito, ad eccezione dell'assedio. Le piramidi possono muoversi come un cerchio, un triangolo o un quadrato, purché contengano ancora il rispettivo pezzo, il che le rende molto preziose.

Cattura dei pezzi avversari

C'erano diversi metodi di cattura. I pezzi non si fermano su un altro pezzo per catturarlo, ma rimangono invece nella loro casella e rimuovono l'altro.

• Incontro: Se un pezzo riesce a catturare un altro pezzo con lo stesso valore atterrando su di esso, il pezzo rimane nella sua posizione e il pezzo dell'avversario viene catturato e rimosso dal tabellone.
• Assalto: Se un pezzo con un valore basso, moltiplicato per il numero di spazi liberi tra esso e un altro pezzo più grande è uguale al pezzo più grande, il pezzo più grande viene catturato e rimosso dal tabellone.
• Imboscata: se la somma di due pezzi è uguale a un pezzo nemico posizionato tra i due (cioè il pezzo nemico si trova entro il movimento di entrambi i pezzi attaccanti), il pezzo nemico viene catturato e rimosso dal tabellone.
• Assedio: se un pezzo è circondato su tutti e quattro i lati viene catturato e rimosso dal tabellone.

Tipologie di vittoria

C'era una serie di condizioni di vittoria per determinare quando sarebbe finita una partita e chi sarebbe stato il vincitore. C'erano vittorie comuni e vittorie vere e proprie, consigliate ai giocatori più abili. Le vittorie corrette richiedevano il posizionamento dei pezzi in disposizioni lineari sul lato avversario della scacchiera, con i numeri formati dalla disposizione seguendo vari tipi di progressione numerica

• aritmetica : $a_{n}=a_{1}+(n-1)d.$ dove $a_{1}$ è il primo termine della successione e la ragione è $d,$,
• geometrica : $a_{n}=a_{1}\,r^{n-1}$ dove $a_{1}$ è il primo termine della successione e $r$≠$0$ è la ragione,
• e armonica : $H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$.

Questi tipi di progressione richiesti si adattano agli insegnamenti matematici e numerologici di Boezio.

• Vittorie comuni: Un giocatore vince la partita quando cattura
  • De corpore (dal corpo): un certo numero di pezzi concordato da entrambi i giocatori.
  • De bonis (per merce): abbastanza pezzi la somma dei cui valori raggiunge o supera un certo valore stabilito da entrambi i giocatoria.
  • De lite (per causa): abbastanza pezzi la somma dei cui valori raggiunge o supera un certo valore concordato da entrambi i giocatori ma inferiore ad un altro numero concordato da entrambi.
  • De honore (per onore):abbastanza pezzi la somma dei cui valori raggiunge o supera un certo valore stabilito da entrambi i giocatori ma con un numero di pezzi inferiore ad un altro numero stabilito da entrambi i giocatori .
  • De honore liteque (per onore e causa): abbastanza pezzi la somma dei cui valori raggiunge o supera un certo valore stabilito da entrambi i giocatori, ma inferiore ad un altro numero concordato da entrambi; inoltre il numero di pezzi catturati deve essere inferiore ad un terzo numero stabilito da entrambi i giocatori.
• Vittorie corrette:
  • Victoria magna (grande vittoria): Si verifica quando tre pezzi allineati formano una prograssione o aritmetica o geometrica o armonica.
  • Victoria major (vittoria maggiore): Si verifica quando quattro pezzi allineati formano due prograssioni di tre pezzi tra i tre tipi menzionati sopra.
  • Victoria excellentissima (vittoria eccellentissima): Si verifica quando quattro pezzi sono allineati per formare i tre tipi di progresioni di tre pezzi.

Rithmomachia e la teoria dei numeri del De Institutione arithmetica di Boezio

La tavola

La tavola più frequentemente riportata aveva dimensioni di 8 caselle per 16, pari a due scacchiere standard; nell'XI secolo era richiesta una tavola almeno da 8 caselle per 12.

I pezzi

I due giocatori sono indicati come Pari e Dispari e ognuno dispone inizialmente di 24 pezzi con un proprio colore identificativo (distinti tra bianchi e neri oppure tra bianchi e rossi); sono di forme diverse e ognuno riporta un numero intero. Nonostante i nomi, entrambi gli schieramenti contengono metà pezzi segnati con numeri pari e metà con numeri dispari.

I pezzi del giocatore Pari sono determinati da sequenze numeriche basate sui primi numeri interi pari (2,4,6,8), mentre i pezzi del Dispari su numeri interi dispari (3,5,7,9). I rapporti tra i numeri sono ricavati dalle proporzioni (proportiones) definite da Boezio nel De institutione arithmetica.

Id	Pezzi									Sequenze
	Forma	Pari				Dispari				Valore	Rapporto	Proportiones
A	Circolare	2	4	6	8	3	5	7	9	$n$	$n$	Multiplices
B		4	16	36	64	9	25	49	81	$n^{2}$
C	Triangolare	6	20	42	72	12	30	56	90	$n(n+1)$	${\frac {n+1}{n}}$	Superparticulares
D		9	25	49	81	16	36	64	100	$(n+1)^{2}$
E	Quadrata	15	45	91	153	28	66	120	190	$(n+1)(2n+1)$	${\frac {2n+1}{n+1}}$	Superpartientes
F		25	81	169	289	49	121	225	361	$(2n+1)^{2}$

Cerchi

I primi 8 pezzi di ogni giocatore sono di forma circolare; riportano il numero iniziale della sequenza e il suo quadrato.

$A=n$

$B=n^{2}$

Triangoli

I successivi 8 pezzi sono di forma triangolare. Il primo numero è dato dalla somma dei due precedenti.

$C=B+A=n^{2}+n$

Il rapporto con il numero precedente è legato alle proporzioni dette superparticulares.

$r_{1}={\frac {C}{B}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}$

Lo stesso rapporto è utilizzato anche per determinare $D$ sulla base di $C$, che risulta pertanto medio proporzionale tra $B$ e $D$.

$D:C=C:B\Rightarrow D={\frac {C^{2}}{B}}=(n+1)^{2}$

Pari				Dispari
n	$r_{1}$	Proportio		n	$r_{1}$	Proportio
2	${\frac {3}{2}}$	sesquialtera		3	${\frac {4}{3}}$	sesquitertia
4	${\frac {5}{4}}$	sesquiquarta		5	${\frac {6}{5}}$	sesquiquinta
6	${\frac {7}{6}}$	sesquisexta		7	${\frac {8}{7}}$	sesquiseptima
8	${\frac {9}{8}}$	sesquioctava		9	${\frac {10}{9}}$	sesquinona

Quadrati e piramidi

Ogni giocatore dispone anche di sette pezzi quadrati e un pezzo piramidale.

Anche in questo caso per il primo numero si utilizza la somma dei due precedenti.

$E=C+D=n(n+1)+(n+1)^{2}=(n+1)(2n+1)$

Il rapporto che si ottiene tra $E$ e $D$ è tipico delle proporzioni superpartientes ed è utilizzato per determinare $F$, come già fatto per i pezzi di forma triangolare.

$r_{2}={\frac {E}{D}}={\frac {(n+1)(2n+1)}{(n+1)^{2}}}={\frac {2n+1}{n+1}}$

$F:E=E:D\Rightarrow F={\frac {E^{2}}{D}}=(2n+1)^{2}$

Pari				Dispari
n	$r_{2}$	Proportio		n	$r_{2}$	Proportio
2	${\frac {5}{3}}$	superbipartiens		3	${\frac {7}{4}}$	supertripartiens
4	${\frac {9}{5}}$	superquadripartiens		5	${\frac {11}{6}}$	superquinquepartiens
6	${\frac {13}{7}}$	supersexpartiens		7	${\frac {15}{8}}$	superseptempartiens
8	${\frac {17}{9}}$	superoctopartiens		9	${\frac {19}{10}}$	supernovempartiens

Tra i pezzi così calcolati come quadrati, ci sono il numero 91 per i Pari e il numero 190 per i Dispari che hanno forma a piramide, cioè sono raffigurati come sovrapposizione di più pezzi. Ciò è dovuto al fatto che possono essere ottenuti dalla somma di quadrati di numeri interi consecutivi.

$91=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}$

$190=4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}$

Bibliografia

• (EN) Ann E. Moyer e Ralph Lever, The philosophers' game, 2001, ISBN 0472112287.
• F. Pratesi, Il gioco dei filosofi fiorentini (PDF), in L'Italia Scacchistica, n. 7, 1995, pp. 171-173.
• Antonio Bazzarini, Ortografia Enciclopedica Universale Della Lingua Italiana: PO - R ; Con Appendice. 2,6 : Dizionario Enciclopedico Delle Scienze, Lettere Ed Arti, Bazzarini, Antonio, 1834, p. 29. URL consultato il 9 settembre 2023.
• (EN) D.E. Smith e C.C. Eaton, Rithmomachia, the Great Medieval Number Game, in The American Mathematical Monthly, vol. 18, n. 4, aprile 1911, pp. 73-80.

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Collegamenti esterni

• Rithmomachia, su Tutte è numero.