Rilevamento di Kosmann

In geometria differenziale, il rilevamento di Kosmann (in inglese Kosmann lift) di un campo vettoriale $X\,$, definito su una varietà riemanniana $(M,g)\,$, è la proiezione canonica $X_{K}\,$ sul fibrato dei riferimenti ortonormali del suo rilevamento naturale (in inglese natural lift) ${\hat {X}}\,$ definito sul fibrato dei riferimenti lineari. Prende il nome della matematica francese Yvette Kosmann-Schwarzbach.

Introduzione

In generale, assegnato un sottofibrato $Q\subset E\,$ di un fibrato $\pi _{E}\colon E\to M\,$ sopra $M$ e un campo vettoriale $Z\,$ su $E$, la sua restrizione $Z\vert _{Q}\,$ a $Q$ risulta essere un campo vettoriale "lungo" $Q$, non sopra (ovvero tangente a) $Q$. Se con $i_{Q}\colon Q\hookrightarrow E$ si denota l'immersione canonica, allora $Z\vert _{Q}\,$ risulta essere una sezione del fibrato (in inglese pullback bundle) $i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,$, definito da:

$i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,$

dove $\tau _{E}\colon TE\to E\,$ è il fibrato tangente al fibrato $E$. Ora, si supponga che sia stata assegnata una decomposizione di Kosmann del fibrato $i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,$, tale che

$i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,$

i.e., in ogni punto $q\in Q$ vale $T_{q}E=T_{q}Q\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,$ dove ${\mathcal {M}}_{u}$ è un sottospazio vettoriale di $T_{q}E\,$ e si assume per ipotesi che ${\mathcal {M}}(Q)\to Q\,$ costituisca un fibrato vettoriale su $Q$. Segue che la restrizione $Z\vert _{Q}\,$ a $Q$ si decompone in un campo vettoriale tangente $Z_{K}\,$ definito sopra $Q$ e in un campo vettoriale transverso $Z_{G},\,$ che risulta essere una sezione del fibrato ${\mathcal {M}}(Q)\to Q.\,$

Definizione

Sia $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ il fibrato dei riferimenti ortonormali orientati di una varietà riemanniana orientata $(M,g)$ $n$-dimensionale. Esso è un ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-sottofibrato principale del fibrato dei riferimenti lineari $\mathrm {F} M\,$ della varietà $M$. Il gruppo di struttura del fibrato principale $\mathrm {F} M$ è il gruppo lineare ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$. Per definizione, si può dire che è data una ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-struttura riduttiva classica. Il gruppo speciale ortogonale ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$ è un sottogruppo di Lie riduttivo di ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$. Infatti, vale la seguente somma diretta ${\mathfrak {gl}}(n)={\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {m}}\,$, dove ${\mathfrak {gl}}(n)\,$ è l'algebra di Lie di ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$, ${\mathfrak {so}}(n)\,$ è l'algebra di Lie di ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$, e ${\mathfrak {m}}\,$ è il sottospazio vettoriale $\mathrm {Ad} _{\mathrm {S} \mathrm {O} }$-invariante delle matrici simmetriche, i.e. $\mathrm {Ad} _{a}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {m}}\,$ per ogni $a\in {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n).$

Sia $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}\colon \mathrm {F} _{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm {F} M$ l'immersione canonica.

Si dimostra che esiste una decomposizione di Kosmann canonica del fibrato $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)$ tale che

$i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,$

i.e., in ogni $u\in \mathrm {F} _{SO}(M)$ si ha $T_{u}\mathrm {F} M=T_{u}\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,$ dove ${\mathcal {M}}_{u}$ è la fibra sopra $u$ del sottofibrato ${\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\to \mathrm {F} _{SO}(M)$ di $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)$. Con $V\mathrm {F} M\,$ si denota il sottofibrato verticale di $T\mathrm {F} M\,$; in ogni $u\in \mathrm {F} _{SO}(M)$ la fibra ${\mathcal {M}}_{u}$ è isomorfa allo spazio vettoriale delle matrici simmetriche ${\mathfrak {m}}$.

Dalla decomposizione canonica ed equivariante sopra riportata, segue che la restrizione $Z\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,$ a $\,\mathrm {F} _{SO}(M)$ di un campo vettoriale ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )$-invariante $Z\,$ definito sopra $\mathrm {F} M$ si decompone nella somma di un campo vettoriale ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-invariante $Z_{K}\,$ definito sopra $\mathrm {F} _{SO}(M)$ e di un campo vettoriale trasverso $Z_{G}\,$.

In particolare, per ogni campo vettoriale $X\,$ definito sopra la varietà di base $(M,g)\,$, segue che la restrizione ${\hat {X}}\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,$ a $\,\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ del suo rilevamento naturale ${\hat {X}}\,$ definito sopra $\mathrm {F} M\to M$ si decompone nella somma di un campo vettoriale ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-invariante $X_{K}\,$ definito sopra $\mathrm {F} _{SO}(M)$, detto rilevamento di Kosmann di $X\,$, e di un campo vettoriale trasverso $X_{G}\,$.

Bibliografia

• (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, New edition, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 4 gennaio 2020 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Fibrato principale
• Varietà riemanniana
• Struttura di spin