Numero stella octangulare

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124 palline magnetiche disposte a formare una stella octangula. 124 è un numero stellato octangulare

In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.

La formula per l'-simo numero stella octangulare è:

[1]

I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444[2].

Proprietà matematiche

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L'-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'-esimo numero tetraedrico.

Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma[3]. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,

può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass

sostituendo con e con . Dato che e , i due fattori di , sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.

Ora, ponendo e , si ha

[3]

Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren[4] Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici.[3][5][6].

  1. ^ John Conway, Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer, 1996, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9..
  2. ^ (EN) Sequenza A007588, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ a b c Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I (PDF) [collegamento interrotto], in Tesi di PhD, Università di Exeter, 1995, pp. 16–17.
  4. ^ Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4, in Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27..
  5. ^ Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplifying the solution of Ljunggren's equation X2 + 1 = 2Y4 (PDF), in Journal of Number Theory, vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123–132. URL consultato il 24 agosto 2012 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).
  6. ^ Konstantinos A. Draziotis, The Ljunggren equation revisited, in Colloquium Mathematicum, vol. 109, n. 1, 2007, pp. 9–11.

Collegamenti esterni

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