Costante di Gauss

In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera $G$ , è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e ${\sqrt {2}}$ :

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots

La costante prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

e quindi:

G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)

dove $\beta$ indica la funzione beta di Eulero.

La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.

Relazioni con altre costanti[modifica | modifica wikitesto]

La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione gamma per 1/4:

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

e, dato che $\pi$ e $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ sono algebricamente indipendenti, con $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.

La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:

L_{1}=\pi G

e la seconda:

L_{2}={\frac {1}{2G}}

che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.

La seguente è una formula che esprime $G$ in relazione alla funzione theta di Jacobi:

G=\theta _{01}^{2}(e^{-\pi })

così come la seguente serie, rapidamente convergente:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

La costante di Gauss ha come frazione continua [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

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