Rete di Zobel

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La rete di Zobel è un tipo di filtro basato sul principio della immagine d'impedenza. Il nome deriva dal suo inventore Otto Julius Zobel del Bell Labs, che pubblicò opere sul tema nel 1923.[1] La caratteristica della rete di Zobel è di avere una impedenza d'ingresso costante indipendentemente dalla funzione di trasferimento. Questo è possibile al costo di implementare più sezioni di filtro e quindi componenti rispetto ad altri filtri. L'impedenza è nominalmente costante e resistiva pura. Per questo motivo le reti di Zobel sono anche dette a resistenza costante. Qualunque impedenza può essere implementata con componenti discreti.

Le reti di Zobel sono largamente utilizzate nelle telecomunicazioni per appiattire e allargare le risposte in frequenza di linee di rame terrestri, aumentando la qualità delle linee telefoniche. L'uso è calato con il passaggio ai sistemi digitali che hanno soppiantato quelli analogici.

Quando utilizzato per cancellare la parte reattiva dell'impedenza di un altoparlante viene chiamato a volte cella di Boucherot. In questo caso, solo metà della rete è implementata con componenti discreti, mentre l’altra parte è formata dal circuito equivalente del trasduttore. È usata anche per la correzione del fattore di potenza nella distribuzione di corrente elettrica, ecco l'associazione al nome Boucherot.

Una configurazione tipica di una rete di Zobel è quella con ponte a T.

Rete di Zobel come ponte bilanciato
Rete di Zobel come ponte bilanciato

La base della rete di Zobel è un ponte bilanciato come mostrato in figura. La condizione di bilanciamento è;

Se questo è espresso in termini di una normalizzata Z0 = 1 come convenzionalmente fatto nelle tavole di filtri, la condizione di bilanciamento è semplice;

In altre parole, è semplicemente l'inverso, o impedenza duale di .

L'impedenza del ponte ZB è attraverso i punti bilanciati e nessun potenziale lo attraversa. Conseguentemente, non vi è corrente che attraversa e il suo valore non fa differenza alla funzione del circuito. Comunque solitamente il suo valore scelto è Z0 per ragioni che si evincono nella configurazione a T.

Impedenza d'ingresso

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L'impedenza d'ingresso è data da

Sostituendo la condizione di bilanciamento,

si ottiene

La impedenza d'ingresso può essere progettata resistiva pura settando

L'impedenza d'ingresso sarà quindi reale e indipendente da ω in banda e fuori banda indipendentemente dalla complessità delle sezioni del filtro scelte.

Funzione di trasferimento

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Circuito equivalente di rete di Zobel per il calcolo del guadagno
Circuito equivalente di rete di Zobel per il calcolo del guadagno

Se Z0 nella parte sotto a destra del circuito è preso come carico sull'uscita allora la funzione di trasferimento di Vin/Vo può essere calcolata per la sezione. Solo il ramo rhs deve essere considerato per il calcolo. La ragione di questo è da trovare nel fatto che non vi è corrente che scorre attraverso RB. Nessuna corrente scorre attraverso il ramo lhs verso il carico. Il ramo lhs non può avere effetto sull'uscita. È certamente influenzata l'impedenza d'ingresso (e il voltaggio all'ingresso) ma non la funzione di trasferimento. La funzione di trasferimento è quindi;

Implementazione con ponte a T

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Lo stesso argomento in dettaglio: Equalizzatore dei ritardi con ponte a T.
Ponte a T di Zobel
Ponte a T di Zobel

L'impedenza del carico è l'impedenza delle sezioni o della linea di trasmissione e può essere omessa dal circuito. Se settiamo;

il circuito sulla destra risulta. Questo si riferisce a un ponte a T perché l'impedenza Z è vista dal "ponte" attraverso la sezione a T. Lo scopo di susare ZB = Z0 è di rendere simmetrica la sezione del filtro. Questo ha il vantaggio di avere la stessa impedenza, Z0, sia in ingresso che in uscita.

Tipi di sezione

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Unn filtro Zobel può essere implementato come passa basso, passa alto, passa banda o elimina banda. È possibile anche implementare un filtro a risposta piatta di attenuazione.

Z e Z'  per attenuatore Zobel

Per una sezione che faccia da attenuatore, Z è semplicemente

e

L'attenuazione è data da;

Z e Z ' per un Zobel passa basso

Per una sezione passa basso, Z è un induttore e Z ' è una capacità;

e

dove

La funzione di trasferimento è data

Il punto 3 dB si ha quando ωL = R0 così i 3 dB di cut-off è dato da

dove ω è nella banda eliminata circa ωc,

può essere visto da A(ω) calando lontano nell abanda eliminata a 6 dB/ottava (o 20 dB/decade).

Z e Z' per un Zobel passa alto

Per un filtro passa alto, Z è una capacità e Z' un induttore:

e

dove

La funzione di trasferimento della sezione è data da

Il punto 3 dB occorre quando ωC = 1R0 così la frequenza a 3 dB cut-off è data da

In elimina banda,

Z and Z'  per un Zobel passa banda

Per una sezione passa banda, Z è una serie di circuiti risonanti e Z' è un o shunt risonante;

e

La funzione di trasferimento è data da

Il punto 3 dB occorre quando |1 − ω2LC| = ωCR0 così la frequenza a 3 dB cut-off è data da

dal centro frequenza, ωm, e larghezza di banda, Δω, può essere determinata:

Nota questo è differente dalla frequenza di risonanza

la relazione tra loro inizia da

Elimina banda

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Z and Z'  per un Zobel elimina banda

Per una sezione elimina banda, Z è uno shunt risonante e Z' è una serie risonante

e

La funzione di trasferimento e la larghezza di banda può essere trovata in analogia con la sezione passa banda.

e,

  1. ^ Zobel, O. J., Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.

Voci correlate

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Altri progetti

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