Orbita (matematica)

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Disambiguazione – Se stai cercando la nozione generale di orbita di un elemento di un insieme sotto un'azione di gruppo, vedi azione di gruppo.

In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

con un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi , un'orbita è una soluzione dell'equazione. Dal momento che il flusso del sistema nel punto è la soluzione quando è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero , si ha che l'orbita passante per è talvolta scritta come l'insieme:

Orbita periodica di un moto armonico.

Dato un sistema dinamico dove è un gruppo, un insieme e , con , si definisce:

Allora l'insieme:

è l'orbita passante per . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste tale per cui per ogni punto dell'orbita.

Sistemi dinamici continui (flussi)

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Dato un sistema dinamico continuo su con evoluzione , sia un intervallo aperto:

La curva:

è la semi-orbita positiva passante per , mentre:

è la semi-orbita negativa passante per .

Sistemi dinamici discreti (mappe)

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Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) , con il numero di iterazione. Detto il punto iniziale, l'orbita passante per è:

dove:

e:

Sistemi dinamici in due dimensioni

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Dato un sistema di equazioni differenziali in del seguente tipo:

La curva descritta nel piano al variare di da ogni soluzione e del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella la cui velocità è data in ogni punto da . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari

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Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di la seconda:

Dalla prima equazione si ricava e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

riordinando i termini:

Si è così dimostrato che se è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni e risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

ossia:

Dunque le radici:

sono gli autovalori della matrice .

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

  • Nodo stabile:
  • Nodo instabile:
  • Sella (instabile): e oppure e
  • Centro (stabile):
  • Fuoco stabile: con
  • Fuoco instabile: con
  • (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlate

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