Utente:Lie/Sandbox

Risonanza

Voce principale

Risonanza (fisica)

Risonanza in presenza di una forzante

Un caso di particolare interesse per i moti ondulatori monodimensionali con piccole oscillazioni è quello dell'oscillatore armonico forzato. In presenza di un dispositivo che è in grado di compiere del lavoro sul sistema oscillante in esame, è possibile definire l'energia potenziale

$U_{e}(t,x)\approx U_{e}(t,0)+x\,{\frac {\partial U_{e}}{\partial x}}$

attraverso uno sviluppo di Taylor troncato al primo ordine. Poiché $U_{e}(t,0)$ è una costante arbitraria (dalle proprietà dei potenziali), possiamo porla uguale a 0, senza che la trattazione perda di generalità. Così, essendo la forza

$F(t)=-{\frac {\partial U_{e}}{\partial x}}\,,$

otteniamo

$U_{e}(t,x)=-x\,F(t)\,.$

Se il sistema è composto da una massa ed una molla, la funzione lagrangiana è

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}-x\,F(t)\,.$

Da qui si ricava l'equazione del moto

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x={\frac {F(t)}{m}}\,.$

In particolare, se la forzante obbedisce a sua volta ad una legge ondulatoria periodica del tipo

$F(t)=F_{0}\cos(\gamma \,t+\phi )\,,$

è possibile scrivere una soluzione particolare dell'equazione differenziale attraverso

$x^{*}(t)=A\,e^{i\,\gamma \,t}\qquad \Longrightarrow \qquad |A|^{2}=\left({\frac {F_{0}}{m(\omega ^{2}-\gamma ^{2})}}\right)^{2}\,.$

Poiché conosciamo la soluzione dell'equazione differenziale omogenea, possiamo scrivere la soluzione generale

$x(t)=B\,e^{i\,\omega \,t}+{\frac {F_{0}}{m(\omega ^{2}-\gamma ^{2})}}e^{i\,\gamma \,t}\,.$

Partendo da condizioni iniziali di riposo per il sistema, segue che

$0=x(0)=B+{\frac {F_{0}}{m(\omega ^{2}-\gamma ^{2})}}$

quindi posso riscrivere la soluzione generale come

$x(t)={\frac {F_{0}}{m(\omega ^{2}-\gamma ^{2})}}\left(-e^{i\,\omega \,t}+e^{i\,\gamma \,t}\right)\,.$