Utente:Grufo/sandbox

Analisi delle conseguenze

La difficoltà principale nella comprensione della relatività ristretta sta nel fatto che è controintuitiva, perché quanto avviene a velocità prossime a quelle della luce si discosta enormemente da quanto osserviamo tutti i giorni alle velocità raggiungibili sulla Terra. È possibile però fare degli esperimenti mentali a partire dalle equazioni di Einstein per cercare di afferrarne il senso. Immaginiamo che due amici, che chiameremo Anna e Bartolomeo, organizzino un viaggio interstellare. Anna resta sulla Terra, mentre Bartolomeo parte in direzione di Proxima Centauri, che dista da noi solo 4,23 anni luce. Abbiamo accennato come a velocità relativistiche la reciproca percezione del tempo vari in funzione della velocità. Ad esempio un evento che si verifichi sull'astronave di Bartolomeo e che per lui duri un intervallo di tempo pari a $\Delta t_{p}$ (tempo proprio), per Anna, che osserverà da lontano, durera un tempo $\Delta t_{a}$ (tempo apparente) pari a:

Funzione n. 1: la dilatazione del tempo in funzione della velocità

$\Delta t_{a}={\frac {\Delta t_{p}}{\sqrt {1-v_{a}^{2}/c^{2}}}}$

Poiché non esiste una velocità assoluta ma solo una velocità relativa rispetto a un osservatore, chiamiameremo la velocità $v_{a}$, ovvero velocità apparente. L'evento sarà dunque percepito da Anna in funzione della velocità a cui si sta muovendo Bartolomeo. La stessa cosa vale però per un evento che accada accanto ad Anna: per lei avrà un tempo proprio pari a $\Delta t_{p}$, mentre per Bartolomeo avrà un tempo apparente $\Delta t_{a}$ in funzione della velocità a cui Anna si sta allontanando da lui. L'equazione ci spiega anche come nessun tempo apparente possa scorrere più velocemente del tempo proprio, ma solo più lentamente. Non è insomma possibile in nessun caso vedere orologi che ticchettano più velocemente nella relatività ristretta: ciò può avvenire solo nella relatività generale in presenza di un campo gravitazionale o di un accelerazione (un caso a parte è quello di un corpo che si avvicina a noi molto rapidamente, ma si tratta solo di un effetto ottico, dovuto alla fisica delle onde elttromagnetiche). Invertendo i termini dell'equazione, Anna potrà calcolare quanto sia durato per Bartolomeo l'evento che lei ha osservato da Terra:

Funzione n. 2: la dilatazione del tempo in funzione della velocità

$\Delta t_{p}=\Delta t_{a}{\sqrt {1-{\frac {v_{a}^{2}}{c^{2}}}}}$

Adesso immaginiamo che Anna voglia sapere quanto veloce dovrebbe muoversi Bartolomeo affinché il rapporto tra il tempo proprio di quest'ultimo e il tempo apparente da lei osservato sia di un certo tipo. Dovrebbe sicuramente invertire l'equazione in questo modo:

Funzione n. 3: la velocità in funzione della dilatazione del tempo

$v_{a}=c{\sqrt {1-{\frac {{\Delta t_{p}}^{2}}{{\Delta t_{a}}^{2}}}}}$

Così però è alquanto scomoda. Più che il rapporto ${\frac {\Delta t_{p}}{\Delta t_{a}}}$ (che come abbiamo visto è sempre minore di uno) a lei per comodità interessa il rapporto inverso ${\frac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{p}}}$. Vorrebbe insomma chiedersi a che velocità dovrebbe andare Bartolomeo affinché ella possa osservare il ticchettio del suo orologio ogni tre secondi invece che ogni secondo. Chiama $q$ il rapporto inverso ${\frac {\Delta t_{a}}{\Delta t_{p}}}$ e ottiene la seguente equazione:

Funzione n. 4: la velocità in funzione della dilatazione del tempo

$v_{a}={\frac {c}{q}}{\sqrt {q^{2}-1}}$

A questo punto sostituirà $q$ con $3$. Sapendo che la velocità della luce è pari a 299 792 458 m/s, scopre che Bartolomeo per vivere tre volte più lentamente dovrebbe muoversi alla velocità apparente di 282 647 040 m/s.

Immaginiamo che l'astronave di Bartolomeo sia stata equipaggiata con potenti razzi in grado di rimanere in funzione per anni senza dover fare rifornimento. La missione prevede che restino ininterrottamente accesi spingendo l'astronave con un'accelerazione costante pari a 9,80665 m/s². Tale valore è stato scelto essenzialmente per simulare la gravità terrestre, rendendo confortevole il viaggio di Bartolomeo. A questo punto Anna calcola che con una simile accelerazione, Bartolomeo dovrebbe raggiungere il valore da lei trovato in poco più di 333 giorni e mezzo (282647040 m/s / 9,80665 m/s² / 24 h / 3600 s). Per una strana coincidenza è appena scoccato il 333esimo giorno dalla partenza di Bartolomeo. Decide di misurarne la velocità. Purtroppo però il valore non è quello sperato. Scopre che Bartolomeo si sta ancora muovendo alla velocità di appena 193 931 584 m/s. Pensa subito a un guasto ai motori, così ne misura l'accelerazione. In effetti scopre che Bartolomeo non sta più accelerando come prima. Adesso accelera di soli 5,703 m/s² e il suo orologio ticchetta ancora ogni 1,31 secondi circa. Dapprima penserà di aver trovato la conferma delle sua preoccupazioni. Poi però le verrà il dubbio che il rallentamento del tempo possa aver influenzato anche l'accelerazione percepita. Se i motori di Bartolomeo continuano a spingere come prima, l'incremento di velocità non sarà più di 9,80665 m/s, ma sarà di 9,80665 / 1,31 = 7.486 m/s (un secondo di Anna equivale a 1 / 1.31 secondi sull'astronave di Bartolomeo), e tale incremento non avverrà neppure più ogni secondo di Anna, ma ogni secondo di Bartolomeo. Per fortuna le sue preoccupazioni si placano non appena calcola che un incremento di velocità di 7.486 m/s per ogni secondo e un terzo circa, per un oggetto che si sta muovendo alla velocità di Bartolomeo, è pari a un'accelerazione propria di 9,81 m/s² (9,80665 / 1,31 / 1,31 = 5,7). Per non incappare più in simili errori decide di ricavarsi la formula dell'accelerazione percepita di un oggetto in funzione della sua accelerazione propria e della sua velocità apparente.

Funzione n. 5: la dilatazione dell'accelerazione in funzione della velocità

$a_{a}=a_{p}(1-{\frac {v_{a}^{2}}{c^{2}}})$

Funzione n. 6: la dilatazione dell'accelerazione in funzione della velocità

$a_{p}={\frac {a_{a}}{1-v_{a}^{2}/c^{2}}}$

L'astronave di Bartolomeo è provvista di uno strumento di controllo del corretto funzionamento dei razzi. Si tratta di uno strumento molto semplice. Un grave della massa di 1 kg è posto su una bilancia. I computer di bordo controllano che il suo peso sia costantemente pari a 9,80665 N correggendo la spinta di conseguenza. Bartolomeo decide di fare un piccolo esperimento mentale. La sua astronave è rimasta in accelerazione costante per due anni, subendo un incremento costante di velocità di 9,81 m/s ogni secondo. A che velocità dovrebbe vedere Anna allontanarsi da lui? Facendo un rapido calcolo ottiene il valore sbalorditivo di ben 618 525 029 m/s. Decide così di puntare il suo telescopio verso la Terra, ma il risultato non è quello sperato. Scopre infatti che Anna si sta allontanando alla velocità apparente di soli 269 774 340 m/s. Rammenta che nessun oggetto può superare la velocità della luce, ma la sua accelerazione costante lui l'ha vissuta di persona. Non demorde e decide di non buttar via il risultato del suo piccolo calcolo precedente e gli attribuisce il nome di "velocità mentale". Bartolomeo potrà dire di muoversi rispetto ad Anna alla velocità mentale ($v_{m}$) di 618 525 029 m/s e alla velocità apparente di 269 774 340 m/s. E in effetti si accorge che lo spazio si è accorciato nella direzione del moto, per cui una distanza nello spazio di fronte a lui che prima di partire misurava 618 525 029 metri, adesso ne misura 269 774 340. In un certo senso può ben dire di percorrere 618 525 029 metri al secondo. Ma non si accontenta. Vuole trovare una formula per mettere in relazione le due grandezze. Vediamo come uscirne. La formula $v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$ può essere riscritta come $v_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t_{a}{\sqrt {1-{\frac {v_{a}^{2}}{c^{2}}}}}}}$ (si veda la funzione n. 2) e quindi come $v_{m}{\sqrt {1-{\frac {v_{a}^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t_{a}}}$. Ma $\Delta s/\Delta t_{a}$ non è altro che la velocità apparente. Possiamo dunque riscrivere l'equazione così: $v_{m}{\sqrt {1-{\frac {v_{a}^{2}}{c^{2}}}}}=v_{a}$. Semplificando in funzione di $v_{a}$ otteniamo:

Funzione n. 7: la velocità mentale

$v_{a}={\frac {v_{m}c}{\sqrt {v_{m}^{2}+c^{2}}}}$

Adesso Bartolomeo vuole avere conferma dei suoi calcoli ottenendo la velocità mentale in base alla velocità apparente con la quale si allontana da Anna, piuttosto che dal ricordo del momento esatto in cui ha acceso i razzi. Inverte pertanto l'equazione come segue:

Funzione n. 8: la velocità mentale

$v_{m}={\frac {v_{a}c}{\sqrt {c^{2}-v_{a}^{2}}}}$

I dati combaciano. Possiamo quindi utilizzare la velocità mentale come una variabile matematica a tutti gli effetti.

Col nostro esperimento mentale abbiamo dimostrato come per un viaggiatore che viaggi "al buio" la relatività non ha alcun effetto. È facile dimostrare come per percorrere una distanza $\Delta s$ in un tempo proprio $t_{p}$ si dovrà in ogni caso raggiungere la velocità mentale di $\Delta s/\Delta t_{p}$: e se le cose stanno così possiamo ignorare del tutto gli effetti della relatività ai fini dei costi energetici di un viaggio. Se infatti la relatività non esistesse e ad esempio volessimo raggiungere Proxima Centauri in un giorno (immaginando di poter accelerare in maniera istantanea), dovremmo raggiungere la velocità esorbitante di 463 185 000 000 m/s (questo numero è il risultato della distanza di Proxima Centauri dalla Terra – 4,23 a.l. – diviso per gli 84000 secondi di cui è composto un giorno). Se volessimo fare la stessa cosa con la relatività, dovremmo raggiungere una velocità apparente di 299 792 395, 205 298 m/s (appena sessantatre metri al secondo in meno della velocità della luce!). A tale velocità infatti il rapporto $q$ tra il tempo apparente e il tempo proprio è pari a 1545. Il che vuol dire che un giorno per l'astronauta ne vale 1545 (poco più di 4,23 anni) per chi resta a Terra. Ma per raggiungere tale velocità dovremmo tenere accesi i motori come se dovessimo raggiungere la velocità mentale di 463 185 000 000 m/s (si veda la funzione n. 8). L'unica differenza sta nel fatto che senza la relatività sia l'astronauta iperveloce che gli osservatori rimasti sulla Terra vedrebbero compiersi il viaggio in un solo giorno. Con la relatività di mezzo, per chi sta sulla Terra non potrà mai passare meno del tempo che impiega la luce per giungere su Proxima Centauri; passerà invece un solo giorno in entrambi i casi per l'astronauta. Ma anche con la relatività l'astronauta dovrà spendere esattamente la stessa energia che se dovesse accelerare fino a 463 185 000 000 m/s. Tutto ciò dimostra come la relatività ristretta, più che un opportunità per compiere lunghi viaggi in breve tempo costituisca un ostacolo per l'esplorazione spaziale a velocità troppo elevate, visto che rischierebbe teoricamente di far tornare eventuali esploratori centinaia di anni dopo la loro partenza (e dovendo poi accelerare in ogni caso fino alla velocità mentale di 463 185 000 000 m/s, si sarebbe arrivati su Proxima Centauri in un giorno anche senza la relatività).

Senza spingerci a velocità così elevate e puramente teoriche, utilizzeremo l'astronave di Bartolomeo coi suoi razzi modesti (ma si tenga presente: di gran lunga più potenti di quelli realizzabili oggi) ma tenaci quale veicolo tecnologicamente possibile in un prossimo futuro e cercheremo di scoprire gli inconvenienti a cui si andrebbe incontro.

Immaginiamo che il nostro Bartolomeo, partendo da Terra, abbia continuato ad accelerare costantemente ad 1 g per 6,25 anni (secondo il suo sistema di riferimento) dopodiché abbia rivolto i razzi in direzione opposta, verso la Terra, per 12,5 anni e infine abbia di nuovo rivolto i razzi nella nella direzione iniziale per altri 6,25. A metà del viaggio, dopo 12,5 anni (secondo il suo orologio), Bartolomeo sarà arrivato alla distanza limite di 380 972 759 926 500 km per poi accelerare in direzione Terra e per poi frenare: per lui trascorreranno altri 12.5 anni. Quando tornerà sulla Terra sarà invecchiato di 25 anni. Per gli abitanti della Terra però gli anni trascorsi saranno ben 86. Abbastanza per scoraggiare chiunque dall'intraprendere un'impresa simile.

Cerchiamo adesso di mettere in rapporto la velocità mentale con la dilatazione del tempo. Torniamo alla situazione iniziale e immaginiamo che Bartolomeo voglia vedere l'orologio di Anna ticchettare ogni tre secondi. Quale velocità mentale dovrà raggiungere? Ovvero, per quanto tempo (secondo il proprio sistema di riferimento) dovrà spendere carburante? Un breve sguardo alle formule e ci si accorge che l'equazione n. 7 può essere riscritta come: ${\frac {c}{q}}{\sqrt {q^{2}-1}}={\frac {v_{m}c}{\sqrt {v_{m}^{2}+c^{2}}}}$ (si veda la funzione n. 4). Trasformandola come $v_{m}=F(q)$ ottieniamo:

Funzione n. 9: la velocità mentale in funzione della dilatazione del tempo

$v_{m}=c{\sqrt {q^{2}-1}}$

Ricordiamoci che $q$ è il valore dato dalla durata di un evento visto da Anna sull'astronave di Bartolomeo diviso per quanto dura lo stesso evento per il nostro astronauta. È interessante notare come la velocità mentale, in questa formula l'energia necessaria per ottenere una data dilatazione del tempo, tenda a $cq$ per valori di $q$ sufficientemente grandi. Ciò significa che se volessimo ottenere ad esempio un fattore di dilatazione pari a 1000, dovremmo spendere all'incirca l'energia necessaria per raggiungere mille volte la velocità della luce ignorando la relativià. Se vogliamo invertire il rapporto otteniamo:

Funzione n. 10: la velocità mentale in funzione della dilatazione del tempo

$v_{m}=c{\sqrt {{\frac {1}{({\frac {\Delta t_{p}}{\Delta t_{a}}})^{2}}}-1}}=c{\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}-1}}={\frac {c}{r}}{\sqrt {1-r^{2}}}$

dove $r$ è il rapporto tra il tempo proprio e il tempo apparente $\Delta t_{p}/\Delta t_{a}$.

Allo stesso modo le funzioni n. 1 e n. 2 possono essere riscritte come:

Funzione n. 11: la dilatazione del tempo in funzione della velocità mentale

$\Delta t_{a}=\Delta t_{p}{\frac {\sqrt {c^{2}+v_{m}^{2}}}{c}}$

Funzione n. 12: la dilatazione del tempo in funzione della velocità mentale

$\Delta t_{p}=\Delta t_{a}{\frac {c}{\sqrt {c^{2}+v_{m}^{2}}}}$

Dicevamo che Bartolomeo si sta domandando che velocità mentale dovrebbe raggiungere per far scorrere "il proprio tempo visto da Anna" tre volte più lentamente. Adesso è piuttosto facile, basta sostituire la variabile $q$ con $3$. Il valore trovato è piuttosto elevato: dovrebbe raggiungere i 847 941 120 m/s di velocità mentale. Con la sua accelerazione costante dovrebbe però riuscirci 2 anni 8 mesi e 28 giorni secondo il proprio orologio. Le cose cambiano per Anna. Ella vedrà che Bartolomeo raggiungerà il corrispondente apparente della velocità mentale di 847 941 120 m/s (dato dalle equivalenze n. 7 e n. 8 e pari al valore precedentemente calcolato di 282 647 040 m/s) in ben 4 anni 11 mesi e 28 giorni. Come è possibile mettere in relazione i due tempi?

Sappiamo che la velocità mentale, per definizione, è l'accelerazione (costante) moltiplicata per il tempo proprio trascorso. Adesso prendiamo l'equazione n. 11. Se partiamo dalla condizione che il mezzo abbia tenuto un accelerazione costante sin dalla partenza, essa può essere riscritta nella seguente forma: $q={\frac {\sqrt {c^{2}+{a_{p}^{2}}{t_{p}^{2}}}}{c}}$. Essa ci indica come cambia il rapporto tra il tempo di Bartolomeo e il tempo di Anna in regime di accelerazione costante, per ogni istante che passa per Bartolomeo. Qui la variabile $t_{p}$ indica tutto il tempo che è passato per Bartolomeo dalla sua partenza e non è da confondersi quindi con la variabile $\Delta t_{p}$, che indica una frazione di tempo arbitraria presa in un dato istante del viaggio di Bartolomeo. Se vogliamo trovare quanto tempo è passato per Anna dalla sua partenza a partire da un dato tempo $t_{p}$ passato per Bartolomeo, dobbiamo integrare la funzione precedente: $t_{a}=F(a_{p},t_{p})=\int _{0}^{t_{p}}{\frac {\sqrt {c^{2}+{a_{p}^{2}}{t_{p}^{2}}}}{c}}dt_{p}$ (anche qui, $t_{a}$ indica tutto il tempo che è passato per Anna dalla partenza di Bartolomeo; da non confondere quindi con la variabile $\Delta t_{a}$ usata nelle precedenti equazioni). Il risultato è l'equazione seguente:

Funzione n. 13: tempo trascorso per un osservatore in funzione di un accelerazione costante e di un tempo proprio

$t_{a}={\frac {{c^{2}}\ln {({\frac {a_{p}t_{p}+{\sqrt {{a_{p}^{2}}{t_{p}^{2}}+c^{2}}}}{c}})}+2a_{p}t_{p}{\sqrt {{a_{p}^{2}}{t_{p}^{2}}+c^{2}}}}{4a_{p}c}}$

A ben guardare, notiamo che $a_{p}t_{p}=v_{m}$ (per definizione). Possiamo quindi riscrivere la formula nella forma seguente, utile per sapere quanto tempo occorrerebbe a un oggetto in accelerazione costante $a_{p}$ per raggiungere la velocità mentale $v_{m}$.

Funzione n. 14: tempo trascorso per un osservatore in funzione di un accelerazione costante e della velocità mentale raggiunta

$t_{a}={\frac {{c^{2}}\ln {({\frac {v_{m}+{\sqrt {v_{m}^{2}+c^{2}}}}{c}})}+2v_{m}{\sqrt {v_{m}^{2}+c^{2}}}}{4a_{p}c}}$

Se volessimo invece sapere quanto tempo occorrerebbe affinché l'oggetto raggiunga una data velocità apparente (sempre conoscendone l'accelerazione costante), dovremmo sostituire $v_{m}$ con ${\frac {v_{a}c}{\sqrt {c^{2}-v_{a}^{2}}}}$ (si veda per questo la funzione n. 8) nell'equazione precedente.

Funzione n. 15: tempo trascorso per un osservatore in funzione di un accelerazione costante e della velocità raggiunta

$t_{a}={\frac {c}{4a_{p}}}[\ln({\frac {c+v_{a}}{c-v_{a}}})+{\frac {2cv_{a}}{c^{2}-v_{a}^{2}}}]$

Con questa formula scopriamo che con la nostra accelerazione costante di 1 g, per raggiungere la velocità precedentemente calcolata di 299792395,205298 m/s, utile per percorrere la distanza Terra-Proxima Centauri in un sol giorno, ci vorrebbero 14 687 anni per l'astronave e 1 156 900 anni per chi osserva da Terra.

Di seguito una tabella esemplificativa del tempo necessario perché un corpo uniformemente accelerato raggiunga velocità relativistiche. Come al solito, abbiamo scelto l'accelerazione costante di 1 g (9.80665 m/s²).

velocità	tempo impiegato	…se la relatività non esistesse	$\Delta t_{a}/\Delta t_{p}$
100 000 000 m/s	128 giorni	118 giorni	1,061
125 000 000 m/s	168 giorni	148 giorni	1,1
150 000 000 m/s	215 giorni	177 giorni	1,155
175 000 000 m/s	275 giorni	207 giorni	1,232
200 000 000 m/s	355 giorni	236 giorni	1,342
225 000 000 m/s	1 anno 111 giorni	266 giorni	1,513
250 000 000 m/s	1 anno 332 giorni	295 giorni	1,812
260 000 000 m/s	2 anni e 123 giorni	307 giorni	2,009
270 000 000 m/s	3 anni e 10 giorni	319 giorni	2,301
280 000 000 m/s	4 anni e 133 giorni	330 giorni	2,799
285 000 000 m/s	5 anni e 248 giorni	336 giorni	3,223
290 000 000 m/s	8 anni e 106 giorni	342 giorni	3,945
294 000 000 m/s	13 anni e 198 giorni	347 giorni	5,112
295 000 000 m/s	16 anni e 75 giorni	348 giorni	5,615
296 000 000 m/s	20 anni e 95 giorni	349 giorni	6,307
297 000 000 m/s	27 anni e 72 giorni	351 giorni	7,344
298 000 000 m/s	41 anni e 299 giorni	352 giorni	9,158
299 000 000 m/s	93 anni e 60 giorni	353 giorni	13,762
299 500 000 m/s	250 anni e 54 giorni	353 giorni	22.645

Come dimostra l'andamento della funzione, gli effetti della relatività ristretta aumentano in maniera esponenziale con l'approssimarsi alla velocità della luce. Essa costituisce un valore limite, raggiungibile con un accelerazione finita solo in un tempo infinito.