Utente:Federico ianni/Sandbox

Il modello di Ising è un modello fisico-matematico studiato in meccanica statistica che pone come oggetto di studio i corpi magnetizzati . Lo scopo di questo modello è comprendere qual è il comportamento di alcuni materiali quando essi vengono sottoposti ad un campo magnetico esterno H ( il modello è stato poi impiegato per modellizzare fenomeni variegati, accomunati dalla presenza di singoli componenti che, interagendo a coppie, producono effetti collettivi). La materia è composta da un numero molto grande (nell’ordine di $10^{23}$) di parti microscopiche interagenti che tipicamente possono essere atomi o molecole. Queste parti sono solitamente tutte uguali (atomi dello stesso tipo) e obbediscono alle più semplici leggi del moto. La difficoltà matematica nello studio di questi sistemi è insita nel gran numero di equazioni che è funzione del numero di particelle del sistema stesso. Per questo motivo è opportuno affrontare il problema in modo differente e quindi usare una strategia che permetta di descrivere questi fenomeni con poche equazioni facili da trattare per ottenere dei risultati almeno approssimati. In questo caso entrano in gioco i metodi di analisi della meccanica statistica che propone un approccio al problema di tipo probabilistico .Quindi date delle condizioni iniziali ad esempio il valore del campo magnetico applicato o per esempio la temperatura del sistema possiamo fare uso degli strumenti che ci vengono forniti dalla statistica al fine di capire come in media si comporta ciascun componente e quindi in ultima analisi il sistema totale. Ising nel 1924 nella sua tesi di dottorato presentò la soluzione esatta del modello ad una dimensione dimostrando l’assenza di transizione di fase tra lo stato paramagnetico e quello ferromagnetico . La delusione generata dall’irrilevanza di questo risultato dal punto di vista fisico, lo portò erroneamente a supporre che anche le soluzioni di dimensione maggiore non presentassero la transizione di fase. Il risultati negativi erano dovuta all'eccessive semplificazioni usate per trattare un fenomeno così complesso. Un passo avanti venne fatto nel 1936, da Rudolf Peierls il quale riuscì a dimostrare l’esistenza di una transizione di fase nei reticoli planari, ossia quelli di dimensione uguale a due. Nel 1941 Hendrik Kramers e Gregory Wannier individuarono il valore esatto della temperatura di Curie del modello di Ising bidimensionale, ma dobbiamo attendere fino al 1944 per la soluzione analitica esatta di Lars Onsager. Infine, da essa, nel 1952 Chen Ning Yang riuscì a ricavare il valore della magnetizzazione spontanea. I lunghi tempi d’attesa tra una scoperta e l’altra ci dimostrano la presenza di notevoli difficoltà riscontrate nella risoluzione dei modelli, infatti ad oggi non siamo ancora a conoscenza di una soluzione esatta per il modello a tre dimensioni.

Storia

Questo modello fu ideato da Willhelm Lenz allo scopo di comprendere le proprietà di alcuni metalli e solo in un secondo tempo venne ripreso ed elaborato da Ising. Nel 1925 Ising ,nella sua tesi di dottorato, pubblicò i primi risultati del suo lavoro, in particolare dimostra che l'energia libera è analitica per qualsiasi temperatura e che quindi la derivata dell'energia libera non possiede punti di discontinuità il che implica assenza di transizione di fase tra lo stato paramagnetico e quello ferromagnetico. Data la complessità dei calcoli ,Ising concluse che a dimensioni maggiori della prima il modello non forniva risposte . Bisogna aspettare il 1936 quando Rudolf Peierls riuscì a dimostrare l'esistenza di una transizione di fase dei reticoli planari , ossia quelli a due dimensioni. Nel 1944 Lars Onsager fornisce la soluzione analitica esatta al modello di Ising e nel 1952 Chen Ning Yang riuscì a ricavare il valore della magnetizzazione spontanea. Landau e Lifshitz infatti dimostrarono che ogni modello unidimensionale con una interazione a corto raggio non può possedere una transizione di fase a temperatura positiva, e l'energia necessaria per ottenere un'inversione di spin genera un aumento di entropia del sistema.

Dualità Kramers–Wannier

la dualità Kramers-Wannier del 1941 mostra che è possibile legare l'energia libera del modello di Ising in un reticolo quadrato a due dimensioni a bassa temperatura con uno ad alta temperatura ,con l'aiuto di questa dualità Hans Kramers e Gregory Wannier riuscirono a verificare l'esistenza di un punto critico nel modello di Ising per un reticolo quadrato.

Yang–Lee zeros

Dopo la soluzione di Onsager , Yang e Lee cercarono un modo per trovare le singolarità dela funzione di partizione non appena che la temperatura, dalla quale essa dipendeva, si avvicinava alla punto critico

Definizione

Il modello di Ising è definito su un insieme discreto di variabili , libere di assumere i valori 1 o -1 , che costituiscono i siti (o nodi) di un reticolo. Possiamo immaginare ciascun sito come un " atomo " il cui momento magnetico elementare o " spin" può allinearsi in due direzioni , su (+1) o giù (-1) . Tali momenti $S_{i}$ interagiscono a coppie: l'energia ha un dato valore quando i due nodi di una coppia sono uguali e un altro quando sono diversi. Da notare che il pedice i rappresenta il generico sito appartenente al generico reticolo D-dimensionale la cui struttura si ripete periodicamente nello spazio con una geometria ben definita. Assumendo di conoscere il valore dello spin di ciascun sito ci è possibile definire la configurazione di spin,alla quale è associata una Hamiltoniana. Essa oltre a dipendere dallo spin, dipende anche da altri parametri del sistema come l'intensità del campo magnetico esterno h , l'intensità dell'energia di interazione $J_{ij}$, e la temperatura che compare nella formula della funzione di partizione . Inoltre noto il valore di spin di ciascuna cella vogliamo conoscere il valore dell'energia $U_{ij}$associata alla singola coppia dei primi vicini <ij>. In prima analisi abbiamo:

$U_{ij}=J_{ij}S_{i}S_{j}$ per siti confinanti

$U_{ij}=0$ altrove

sommando le energie di tutte le coppie di spin, si ottiene l'Hamiltoniana totale del sistema:

                  $H=-{\frac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}+\mu \sum _{i}H_{ij}S_{i}^{z}$ 

dove $S_{i}^{z}=\pm 1$ denota la proiezione del momento angolare di spin lungo la direzione z di un sistema di riferimento. Per cui avrò +1 se la proiezione è concorde alla direzione dell'asse , ed invece -1 se la proiezione ha direzione opposta. Inoltre poichè la somma conta sia l'interazione dello spin $S_{i}$ con lo spin $S_{j}$ e l'interazione tra lo spin $S_{j}$ con quello $S_{i}$ allora dobbiamo prendere metà di questo conteggio moltiplicando per ${\frac {1}{2}}$ la somma. In questa equazione nella prima somma abbiamo proprio gli indici i e j che indicano tutte le coppie di spin confinanti e interagenti tra loro in particolare ci dice come questi siti interagiscono mediante quella che prende il nome di costante di scambio J .

Per il calcolo delle proprietà termodinamiche di un sistema magnetico è conveniente utilizzare la forma canonica secondo cui la probabilità di una configurazione è data dalla distribuzione di Boltzmann : P($\sigma$ )=${\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}}$ dove con $\beta =(K_{B}T)^{-1}$ questa espressione ci permette di conoscere quale è la probabilità di ottenere una data configurazione di spin , dove la probabilità di ciascun sito è pesata con $Z=e^{\beta H(\sigma _{i})}$ dove $H(\sigma _{i})$ è l'energia di ogni singolo sito e Z rappresenta la funzione di partizione, la quale ci permette di definire la costante di normalizzazione $Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{\beta H(\sigma )}$, che rappresenta la somma di tutti i microstati che possono generare un macrostato di un ensamble statistico. In altre parole il peso statistico che permette di conoscere la probabilità di configurazione di spin cercata. Avendo definito una misura di probabilità $P(\sigma )$ allora possiamo definire il valore di aspettazione di un dato valore di spin:

$<\sigma _{0}>={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\sigma _{0}e^{-\beta H(\sigma )}$

data dal valor medio. in realtà possiamo definire un valore di aspettazione per tutte le funzione che dipendono unicamente dallo spin ad esempio la magnetzzazione:

$M=\mu <\sum _{j\in \Lambda }\sigma _{i}>$

e valor medio dell'energia E = <H>

Energia e possibili modelli:

Dall'equazione dell'Hamiltoniana totale vista nella definizione possiamo affermare che se il prodotto dei nodi è +1 cioè se i due spin sono uguali (allineati) questo comporta un incremento dell'energia totale del sistema, invece se il prodotto è −1 implica che i due spin sono diversi (anti-allineati) e quindi si osserva una diminuzione dell'energia totale. Il segno meno di ogni termine della funzione Hamiltoniana è una convenzione. Usando questa convenzione, il modello di Ising può essere classificato secondo il segno dell'interazione tra le coppie <i,j>, per cui abbiamo:

• $J_{ij}>0$ , l'interazione è chiamata ferromagnetica
• $J_{ij}<0$ , l'interazione è detta antiferromagnetica
• $J_{ij}=0$ , non si ha interazione tra spin , quind il sistema è detto non interagente

Nel modello di Ising ferromagnetico, le configurazione nelle quali gli spins adiacenti sono allineati hanno alta probabilità di esisterere. Invece nel modello antiferromagnetico , gli spins adiacenti con più alta probabilità sono quelli di segno opposto.

La convenzione nel segno di H(\sigma) spiega anche come un sito j-esimo interagisce con un campo esterno .Cioè in presenza del campo si possono avere tre casi:

• $h_{j}>0$ lo spin del sito j si allinea nella direzione positiva del campo
• $h_{j}<0$ lo spin del sito j si allinea nella direzione negativa del campo
• $h_{j}=0$ il campo esterno non influenza il sistema interno

Pensiamo ad un reticolo composto da un numero N di celle, ognuna di esse la possiamo interpretare come una particella dotata di momento angolare intrinseco detto di spin che indichiamo con $\sigma _{i}$ il quale può assumere valore di -1 o +1 per cui fissato un sistema di riferimento, diremo che il numero quantico di spin sarà positivo se il vettore $\sigma _{i}$ di momento angolare è diretto lungo una data direzione,e negativo se ha stesso verso ma diretto nella direzione opposta. Dato un reticolo noi non possiamo sapere contemporaneamente il valore di spin associato a ciascun nodo, per questo il modello di Ising richiede una trattazione probailistica al fine di conoscere la probabilità di ottenere una data configurazione di spin. Tale modello è legato alla variazione della temperatura infatti data la cella i-esima supponiamo che ad essa è associaita un'energia $H(\sigma _{i})$ e qundi un peso statistico $\rho \propto e^{\beta H(\sigma _{i})}$ , ma noi abbiamo un numero di celle pari a $L^{D}$ dove L è la lunghezza del lato di un reticolo e D è la dimensione nelle quale stiamo lavorando, quindi dobbiamo sommare le energie di ciascuna cella, pesata con il proprio peso statistico , otteniamo così l'energia media del sistema . La somma del peso statistico di ciascuno stato mi da la funzione di partizione del sistema , la quale dipende dalla temperatura. Assumiamo quindi che la tempertura del sistema sia molto grande, al limite che tende a infinito $T\rightarrow \infty$ ne segue che l'energia associata alla disposizione degli spins sarà molto più piccola dell'energia termica totale $\mathbb {H} (\sigma _{i})<<K_{B}T$, questo significa che nel sistema prevalgono gli effetti legati al rumore termico e quindi prevale lo stato di disordine

• 
  reticolo quadrato con gli spins con orientazione up o down casuale

L'interazione magnetica inoltre tende ad allineare tutti gli atomi in una certa direzione, mentre il rumore termico tende a perturbare l'ordine, sarà effettivamente necessario tener conto della temperatura in questo studio, ed in particolare una temperatura critica $T_{C}$ .In generale gli spins possono puntare in ogni direzione nello spazio, però può accadere, per la precisa conformazione del reticolo cristallino del materiale, che tutti i vettori siano orientati in un medesimo piano, in modo da poter definire il modello di Ising Planare. Se invece tutti i vettori sono orientati in una particolare direzione in tal caso si arriva a definire il modello di Ising Monodimensionale. la soluzione di quest'ultimo risale alla tesi di dottorato di Ising , tale modello è esattamente risolvibile mediante il metodo della matrice di trasferimento.

Proprietà e transizioni di fase

In assenza di campo magnetico esterno l'Hamiltoniana che descrive il sistema è la seguente:

                                $H=-\sum _{<i,j>}J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}$   h = 0  J>0

dove gli spins sono diretti lungo l'asse z di un dato sistema di riferimento.

L' operatore parità applicato sullo stato di spin , ad esempio spin up che indico come $+S^{z}$ fa si che esso inverta la sua direzione, tale che $+S^{z}\rightarrow -S^{z}$ . L'Hamiltoniana del sistema resta invariata infatti si ha :

                                                $[{\hat {P}};{\hat {H}}]=0$

si ha in tal caso una simmetria discreta che viene detta simmetria di parità. In assenza di campo magnetico esterno , ciò che determina lo stato di ordine o disordine di un sistema è la sua temperatura . Definita la temperatura di Curie affermiamo che al di sotto di essa gli spins hanno una direzione privilegiata ed il contributo dell'entropia è molto piccolo, mentre al di sopra di questa temperatura il contributo dell'entropia è molto grande ed gli spins hanno un'orientamento casuale. Inoltre detta m la magnetizzazione del sistema , esso ci dice come gli spins sono disposti in media Tale simmetria non vale per tutte le temperature, infatti:

• $T>T_{C}\Rightarrow$ m=0 ho una situazione con simmetria
• $T<T_{C}\Rightarrow$ m $\neq$ ho una rottura della simmetria

il nostro scopo è conoscere il grado di magnetizzazione del sistema . Supponiamo che ci sono N spins nel reticolo dove un numero $N_{\uparrow }$ di spins punta verso una data direzione e un numero $N_{\downarrow }$ di spins punta nella direzione opposta, e sia chiaramente$N=N_{\uparrow }+N_{\downarrow }$ , dove con M indico la magnetizzazione , il cui valore d'aspettazione è uguale a :

                                 $<M>=<{\frac {N_{\uparrow }+N_{\downarrow }}{N}}>$

notiamo che M può assumere valori tra -1 e +1 ,inoltre:

• |M| $\rightarrow 0$ allora il sistema è altamente disordinato, dove al limite metà spin puntano verso sopra e altri verso il basso
• |M| $\rightarrow 0$ allora il sistema è altamente ordinato dove la maggior parte degli spin punta verso un'unica direzione

ad alta temperatura il sistema si trova in uno stato di alta simmetria per cui la magnetizzazione è nulla favorendo l'aumento di entropia del sistema , per basse temperature il sistema si trova in uno stato con una qualche magnetizzazione M, poichè non c'è alcun campo applicato , per cui i singoli spins non hanno preferenze sulla direzione verso cui puntare, questo stato a bassa temperatura è detto ferromagnetico . Quello stato con magnetizzazione non spontanea , quindi causata da un fattore come temperatura, prende il nome di fase paramagnetica. Il passaggio dal paramagnetico al ferromagnetico attraverso una data temperatura è detto transizione di fase. é da notare che la fase paramagnetica ad alta temperatura ha una simmetria tra up e down, senza preferenze nella scelta della direzione . invece a basse temperature, cioè nella fase ferromagnetica la simmetria è rotta ed il sistema si trova in una disposizione casuale. questa disposizione degli spins è chiamata rottura spontanea della simmetria

Andamento critico nel caso monodimensionale

Visualizzazione della misura di probabilità di una traslazione invariante nel modello di Ising monodimensionale.

Il modello di Ising più studiato è definito su di un reticolo, denominato comunemente Λ, d dimensionale ferromagnetico invariante per traslazioni in assenza di campi esterni, cioè Λ = Z^d, J_ij = 1, B = 0.

Ising risolse il modello nel caso monodimensionale nella sua tesi di PhD nel 1924. In una dimensione, questo modello non ammette transizioni di fase. Questo significa che per ogni valore positivo β, il correlatore connesso <σ_iσ_j> decade esponenzialmente rispetto a |i−j|:

$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp(-c(\beta )|i-j|),$

e quindi il sistema è disordinato. Sulla base di questo risultato, Ising incorrettamente concluse che questo modello non ha alcuna transizione di fase in qualsiasi arbitraria dimensione.

Il modello di Ising è caratterizzato da una transizione di fase tra una fase ordinata e una fase disordinata in due o più dimensioni. Questo significa che il sistema è disordinato per piccoli β, mentre per grandi β il sistema esibisce un ordine ferromagnetico:

$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.$

Questo fu provato per la prima volta da Rudolf Peierls nel 1933, usando quello che ora è noto come argomento di Peierls.

Il modello di Ising in due dimensioni definito su un reticolo quadrato senza campi esterni magnetici fu risolto analiticamente da Onsager (1944). Onsager mostrò che le funzioni di correlazione e l'energia libera di un modello di Ising sono determinate da un fermione non interagente. Onsager annunciò la formula per la magnetizzazione spontanea per il modello bidimensionale nel 1949 ma non allegò la sua derivazione. Yang (1952) diede la prima dimostrazione pubblicata della formula, usando una formula limite per i determinanti di Fredholm, provata nel 1951 da Szegő in diretta risposta agli studi di Onsager.

interazione a corto raggio

Nel caso dell'interazione tra prossimi vicini, in altre parole interazione a corto raggio, E. Ising assieme al suo professore William Lentz dimostrarono che tale modello presenta una soluzione esatta ad una dimensione ed in particolare non possiede punti di non analiticità ,per cui non vi sono transizioni di fase. Inoltre questo modello a corto raggio non può possedere temperatura di transizione positiva, come spiegato nel libro di corso di meccanica statisitca curato da Landau e Lifshitz. Infatti ad ogni temperature positiva del sistema ( per un $\beta$ finito ) l'energia libera è analitica nei parametri termodinamici . Solo nel caso in cui la temperatura è nulla , (quindi per $\beta$ infinito ), vi è una transizione di fase del secondo ordine: l'energia libera è infinita e ne segue che T = 0 coincide con la temperatura critica del caso in questione. In particolare il caso per $\alpha =2$ può quindi avere una transizione di fase, che ha analogie con la transizione di fase di Berezinsky Kosterlitz e Thouless

interazione a lungo raggio

In una dimensione nel modello di Ising con interazione a lungo raggio si possono avere i seguenti casi :

1. nel caso dell'interazione ferromagnetica $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ con $1<\alpha <2$ Dyson dimostrò che esiste una transizione di fase a temperature basse, e che il sistema si trova in uno stato ordinato quindi bassa entropia
2. nel caso dell'interazione ferromagnetica $J_{ij}\sim |i-j|^{-2}$ Fröhlich e Spencer dimostrarono che vi è una transizione di fase per basse temperature (in contraso al caso gerarchico)
3. Nel caso dell'interazione $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ con $\alpha >2$ (che include il caso di una interazione a range finito) non c'è transitione di fase per temperature positive ( e con un $\beta$ finito ) quindi l'energia libera è analitica nei parametri termodinamici. Inoltre il sistema presenta uno stato di disordine per ogni temperatura

assenza di campo magnetico esterno h

L'energia di un modello di Ising ferromagnetico monodimensionale in assenza di un campo magnetico esterno è:

$-\sum _{i}S_{i}S_{i+1}\,.$

dove $i$ va da $0$ a $L$, la lunghezza della linea. L'energia dello stato meno energetico è $-L$, quando tutti gli spin sono uguali. Per qualsiasi altra configurazione, l'energia extra è uguale al numero di cambiamenti di segno che occorrono quando si scorre la configurazione da sinistra a destra.

Se chiamiamo il numero di cambiamenti di segno in una configurazione come $k$, la differenza in energia dal livello di energia più bassa è $2k$. Dal momento che l'energia è additiva rispetto al numero di cambiamenti di segno dello spin, la probabilità $p$ di avere un cambiamento di segno in ciascuna posizione è indipendente rispetto al resto del reticolo lineare. Il rapporto della probabilità di trovare un cambiamento di segno sulla probabilità di non trovarlo è proporzionale al fattore di Boltzmann:

${p \over 1-p}=e^{-2\beta }\,.$

Il problema è così ridotto al lancio pesato di una moneta. Questo essenzialmente conclude la descrizione matematica.

Dalla descrizione in termini di lanci di monete indipendenti si può comprendere la statistica del modello anche per linee molto lunghe. La linea si divide in domini in cui gli spin hanno tutti lo stesso segno. Ciascun dominio è la lunghezza media $e^{2\beta }$. La lunghezza di un dominio è distribuita esponenzialmente, dal momento che c'è una probabilità costante a ciascun sito di incontrare un cambiamento di segno. Perciò il dominio non può mai diventare infinito, e quindi il sistema non potrà mai essere magnetizzato, cioè con spin tutti con lo stesso segno. Allontanandosi da un nodo qualsiasi la correlazione tra questo e i suoi vicini successivi decade di un quantità proporzionale a $p$, quindi la correlazione decade esponenzialmente.

$\langle S_{i}S_{j}\rangle \,\propto \,e^{-p|i-j|}\,.$

La funzione di partizione rappresenta il volume delle configurazioni, ciascuna configurazione pesata con il suo peso di Boltzmann. Dal momento che ciascuna configurazione è descritta da un cambiamento di spin, la funzione di partizione si fattorizza:

$Z=\sum _{\mathrm {configs} }e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}\,.$

Il logaritmo diviso $L$ rappresenta la densità di energia libera:

$\beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{e^{-2\beta } \over 1+e^{-2\beta }}\right)\,.$

ed è una funzione analitica dovunque tranne che in $\beta =\infty$. Dato che tutte le transizioni di fase sono localizzate nei punti di non analiticità dell'energia libera, allora il modello monodimensionale non ha alcuna transizione di fase.

in presenza di campo magnetico esterno

Per gli spins confinanti è possibile conoscere la soluzione esatta dell'Hamiltoniana. L'energia del modello di Ising ad una dimensione su di un reticolo di L siti con condizioni periodiche al contorno é:

$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i}$

dove J e h possono essere semplicemente dei numeri. Considero il caso semplificato dove J è una costante che rappresenta il campo magnetico esterno applicato al reticolo . L' energia libera é

$f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln(Z(\beta ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right)$

e la correlazione tra gli spins è

$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}$

dove C($\beta$) and c($\beta$) sono funzioni positive per T > 0. Per T $\rightarrow$ 0, la lunghezza di correlazione inversa c(β), sparisce.

dimostrazione

dimostro la soluzione sia nel caso in cui il campo esterno sia nullo, sia quando esso è diverso da zero. Se h = 0, sarà molto semplice ottenere l'energia libera nel caso delle libere condizioni al contorno , quando

$H(\sigma )=-J(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}).$

Allora il modello fattorizzato sotto un cambio di variabile:

$\sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1}\qquad j\geq 2.$

ci fornisce

$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}\;e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\;\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.$

Perciò l'energia libera è

$f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].$

Con uno stesso cambio di variabile

$\langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N}$

quindi esso decade esponenzialmente per T ≠ 0; invece per T = 0, quindi nel limite per $\beta \rightarrow \infty$ non vi è decadimento

se $''h''\neq 0$ necessitiamo di usare la matrice di trasferimento . Per il caso di condizioni periodiche al contorno è il seguente. la funzione di partizione è:

$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}\;e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\;\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.$

i coefficienti $V_{\sigma ,\sigma '}$ possono essere visti come le entrate di una matrice . Ci sono diverse scelte possibili : sfruttando la simmetria della matrice possiamo possiamo fare la seguetn scelta

$V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}$

oppure

$V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.$

Nel formalismo matriciale

$Z(\beta )={\rm {Tr}}\left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right]$

dove λ₁ è l'autovalore più grande di V, mentre λ₂ è l'altro autovalore tale che:

$\lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}$

e |λ₂| < λ₁. questo ci fornisce la formula dell'energia libera.

soluzione esatta ad una dimensione con campo trasverso

Per esprimere l'Hamiltoniana usando la meccanica quantistica, dobbiamo considerare gli spins come matrici di pauli e non più come variabili. Essi comunque continuano a dipendere dalla direzione del campo magnetico. Scrivo l'equazione di una hamiltoniana che tiene conto di un campo transverso o longitudinale . L'Hamiltoniana in questione o è

$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.$

Il modello a campo trasverso, quando J è circa uguale a h, genera una transizione di fase tra uno stato ordinato ad uno disordianto . Questo può essere mostrato mappando le matrici di Pauli:

$\sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},$

$\sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.$

Quindi riscrivendo l'Hamiltoniana in termini del cambio di base delle matrici , otteniamo:

$H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.$

quindi il ruolo di h e j viene invertito , e l'Hamiltoniana subisce una transizione a J = h.

Argomento di Peierls

Nella prima parte del ventesimo secolo si credeva che la funzione di partizione definita come segue:

• la funzione di partizione è la somma dei pesi $e^{\beta H}$ di tutte le configurazioni
• la funzione esponenziale è analitica ovunque rispetto a $\beta$
• la somma di funzioni analitiche è ancora una funzione analitica

non potesse descrivere le transizioni di fase. Questi tre punti valgono per una somma finita di esponenziali , e stabilisce correttamente che non ci sono singolarità nell'energia libera del sistema di dimensione finita . Nel limite termodinamico la somma infinita può avere delle singolarità. La convergenza al limite termodinamico è veloce e questo fa si che il comportamento della fase (ferromagnetica o paramagnetica che sia) corrisponde a quella relativa ad un reticolo di dimensione finita. Questo fu dimostrato da Rudolf Peierls basandosi sul modello di Ising.

dopo il lavoro di Lentz e Ising , Peirelis dimostra che esiste una transizione di fase in due dimensioni. Per dimostrarlo confrontò due limiti ad alta e bassa temperatura rispettivamente. A temperatura infinita $\beta$ tutte le configurazioni hanno un uguale probabilità ,ed ogni spin è completamente indipendente dall'altro. A temperatura infinita , pensiamo agli spin di segno più o meno come il bianco e nero , tipico dell'effetto television snow . Per alte ma non infinite temperature , ci saranno piccole correlazioni tra le posizioni confinanti

Modello di Ising a due dimensioni

Simulazione del modello di Ising bidimensionale(500x500) per una temperatura inversa di β=10.

Soluzione esatta di Onsager

Su un reticolo quadrato non sottoposto ad alcun campo magnetico esterno $h=0$, Onsager si ricavò l'espressione analitica dell'energia libera del modello di Ising, nel limite termodinamico come funzione della temperatura considerando l'interazione in orizzontale e verticale rispettivamente $J_{1}$ e $J_{2}$ :

$-\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].$

da questa espressione dell'energia libera , tutte le funzioni termodinamiche del modello possono essere calcolate tramite delle derivate appropriate. Il modello di Ising a due dimensioni fu scritto per trovare una transizione di fase continua ad una temperatura positiva. Tale transizione si verifica alla temperatura critica $T_{c}$, la quale è soluzione della seguente equazione:

$\sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1$

Nel caso isotropico , quando le interazioni di energia orizzontale e verticale sono uguali ,tale che $J_{1}=J_{2}=J$, segue che la temperatura critica $T_{c}$ è uguale a:

$T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}$

Invece quando le interazioni di energia $J_{1}$ e $J_{2}$ sono entrambi negative , il reticolo quadrato sarà diviso in due parti, ed inoltre per $h=0$ vi sarà una simmetria ossia l'energia sarà invariante rispetto alla posizione occupata. Inoltre l'energia libera e la temperatura critica sono le stesse per entrambe le J, invece per un reticolo triangolare bipartito, il modello di ising ferromagnetico e antiferromagnetico si comporta in maniera notevolmente differente.

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