Utente:Facquis/Sandbox/Vettore spaziale (elettrotecnica)

In elettrotecnica un vettore spaziale è un numero complesso impiegato per la descrizione delle grandezze elettriche in un sistema trifase. I vettori spaziali sono impiegati nello studio dei transitori dei sistemi trifase e nelle macchine elettriche caratterizzate dalla presenza di un campo magnetico rotante.

Trasformata di Clarke

Considerato un sistema trifase bilanciato in cui ogni linea ha resistenza $R$, induttanza di fase $L_{f}$ e mutua induttanza con le altre fasi $L_{m}$, allora definite come variabili di stato le correnti $i_{a}$, $i_{b}$e $i_{c}$ e come variabili di uscita le tensioni $v_{a}$, $v_{b}$e $v_{c}$ si ha che la rappresentazione in spazio di stato del sistema è $v_{abc}=L_{abc}{d \over dt}i_{abc}+R_{abc}i_{abc}$, in forma matriciale:

${\begin{bmatrix}v_{a}\\v_{b}\\v_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}L_{f}&L_{m}&L_{m}\\L_{m}&L_{f}&L_{m}\\L_{m}&L_{m}&L_{f}\end{bmatrix}}{d \over dt}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}R&0&0\\0&R&0\\0&0&R\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}\\i_{b}\\i_{c}\end{bmatrix}}$

Al fine di disaccoppiare le correnti è possibile applicare la trasformata di Clarke:

$T_{0}={\sqrt {2 \over 3}}{\begin{bmatrix}1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}\\0&-{{\sqrt {3}} \over 2}&-{{\sqrt {3}} \over 2}\\{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}&{1 \over {\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$

Il sistema risultante in cui $v_{\alpha \beta 0}=T_{0}v_{abc}$ e $i_{\alpha \beta 0}=T_{0}i_{abc}$ è:

${\begin{bmatrix}v_{\alpha }\\v_{\beta }\\v_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}L_{\alpha }&0&0\\0&L_{\beta }&0\\0&0&L_{0}\end{bmatrix}}{d \over dt}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }\\i_{\beta }\\i_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}R&0&0\\0&R&0\\0&0&R\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }\\i_{\beta }\\i_{0}\end{bmatrix}}$

Siccome $L_{\alpha }=L_{\beta }=L_{f}-L_{m}$ allora è possibile definire il vettore spaziale delle tensioni

${\bar {v}}={\bar {v}}_{\alpha }+j{\bar {v}}_{\beta }$

Note

de:Raumzeigerdarstellung

https://moodle2.units.it/pluginfile.php/421560/mod_resource/content/1/CAMPO%20ROTANTE%202.pdf