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Un circuito elettrico con un generatore di tensione e una resistenza

La teoria dei circuiti è una disciplina dell'elettrotecnica che studia i modelli matematici che descrivono il comportamento dei circuiti elettrici. Quando è verificata l'ipotesi dei parametri concentrati la teoria dei circuiti consente di descrivere in modo accurato il comportamento dei circuiti elettrici reali, che sono il principale oggetto di studio dell'ingegneria elettrica ed elettronica.

La teoria dei circuiti si sviluppa dalla modellizzazione del circuito elettrico reale in un grafo costituito dalla connessione di elementi circuitali caratterizzati da relazioni costitutive tra due variabili di stato: la tensione e la corrente. Le proprietà del circuito elettrico dipendono quindi dai vincoli topologici determinati dal grafo sulle variabili di stato e dalle relazioni costitutive degli elementi stessi. La teoria dei circuiti consente quindi di risolvere circuiti ideali attraverso relazioni algebriche, prescindendo dai legami differenziali esistenti tra le grandezze fisiche dei circuiti elettrici reali. La modellizzazione impiegata dalla teoria dei circuiti ha però dei limiti di validità, superati i quali è necessario ricorrere alla teoria dei campi.

Storia

I primi sviluppi della teoria dei circuiti elettrici e delle leggi che regolano i rapporti tra tensione e corrente si devono al lavoro dei fisici tedeschi Georg Simon Ohm e Gustav Robert Kirchhoff.

Concetti fondamentali

Corrente

$i=\int _{S}\mathbf {J} \,\mathrm {d} \mathbf {S}$

$i={\frac {dq}{dt}}$

Tensione

Le leggi di Kirchhoff sono applicabili per i valori istantanei di tensione e corrente elettrica $v(t)$ e $i(t)$, se costanti, si usano i simboli maiuscoli $V$ e $I$. Sono valide anche per le costanti complesse (fasori) ${\overline {V}}$ e ${\overline {I}}$, per le trasformate di Laplace $V(s)$ e $I(s)$ per l'analisi nel dominio della frequenza e per le variabili complesse dei sistemi trifase (vettori spaziali) ${\overline {v}}(t)$ e ${\overline {i}}(t)$.

Circuito elettrico

Un circuito elettrico è una rete costituita da componenti elettrici dotati di terminali (detti anche morsetti o poli) connessi tra loro. Le connessioni tra i componenti sono costituite dall'unione di più terminali nei nodi. A ogni terminale è associata una corrente elettrica, mentre a ogni coppia ordinata di nodi è associata una tensione elettrica, due grandezze algebriche a cui è assegnato in modo convenzionale un verso di riferimento, il cui cambiamento ne fa cambiare il segno. Dato che ogni terminale è connesso a un nodo allora la tensione è associata sia ai due nodi che alla coppia ordinata di terminali. Ogni componente elettrico stabilisce delle relazioni interne chiamate relazioni costitutive esclusivamente fra le tensioni e le correnti ai propri terminali.

Dalla teoria dei campi alla teoria dei circuiti

Un circuito elettrico fisico può essere considerato come una regione di spazio costituita da elementi di diversa natura in cui avvengono fenomeni elettromagnetici. Affinché questi fenomeni avvengano, il circuito deve essere alimentato da una sorgente energetica non elettrica. La caratterizzazione dei fenomeni elettromagnetici è possibile attraverso la teoria dei campi, una teoria scientifica che li caratterizza attraverso grandezze fisiche specifiche, legate tra loro dalle equazioni di Maxwell e dalle leggi fisiche che ne derivano. Conoscendo gli elementi e i contributi energetici esterni su un circuito elettrico è quindi possibile attraverso la teoria dei campi individuare in ogni momento e per ogni punto del circuito le grandezze elettriche desiderate. La dipendenza dallo spazio e dal tempo delle equazioni di Maxwell però rende questa analisi notevolmente complessa e poco funzionale a numerose applicazioni. Attraverso una modellizzazione a parametri concentrati del circuito però è possibile semplificare notevolmente la teoria dei campi riconducendosi alla teoria dei circuiti, una teoria matematica basata su un sistema assiomatico che entro certi limiti consente in modo estremamente semplificato un'analisi accurata delle grandezze elettriche fondamentali di un circuito reale.

Teoria dei campi

Le proprietà elettromagnetiche che caratterizza vari elementi che compongono i circuiti sono la permittività elettrica $\varepsilon$, la permeabilità magnetica $\mu$ e la conduttività elettrica $\sigma$. In generale si tratta di grandezze tensoriali, ma in questa trattazione possono essere semplificate a grandezze scalari considerando gli elementi del circuito isotropi. Inoltre possono essere anche considerate grandezze lineari, invarianti nel tempo e omogenee diventando così indipendenti dallo stato elettromagnetico iniziale, dal momento considerato e dalla posizione nel componente. A queste condizioni la polarizzazione elettrica $\mathbf {P}$ è direttamente proporzionale al campo elettrico $\mathbf {E}$, che è quindi è legato all'induzione elettrica $\mathbf {D}$ dalla relazione $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$. Analogamente la polarizzazione magnetica $\mathbf {M}$ risulta direttamente proporzionale al campo magnetico $\mathbf {B}$, che è quindi è legato all'induzione magnetica $\mathbf {H}$ dalla relazione $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$. Inoltre è possibile definire la relazione tra la densità di corrente $\mathbf {J}$ e il campo elettrico $\mathbf {E}$ tramite l'equazione $\mathbf {J} =\sigma (\mathbf {E} -\mathbf {E} _{0})+\mathbf {J} _{0}$ dove $\mathbf {E} _{0}$ e $\mathbf {J} _{0}$ sono le grandezze elettriche in ingresso al circuito generate dalle sorgenti energetiche non elettriche.

Equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell descrivono i campi vettoriali elettromagnetici:

• legge di Gauss elettrica: $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$
• legge di Faraday: $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

• legge di Gauss magnetica: $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• legge di Ampère-Maxwell: $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

Ipotesi e limite di validità

Per semplificare le equazioni di Maxwell e ricondursi alla teoria dei circuiti è necessario supporre che le dimensioni del circuito siano trascurabili rispetto alla velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche $c$ (velocità della luce) che deve quindi essere considerata infinita rispetto al circuito $c=\infty$. Con questa ipotesi il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario. Questa semplificazione consente quindi l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali in modo da ricondursi a un modello a parametri concentrati.

Considerata quindi un'onda elettromagnetica caratterizzata da una banda di frequenza massima $f_{\max }$ allora per il teorema del campionamento il minimo intervallo di tempo che è possibile distinguere è $t_{\min }={\tfrac {1}{2f_{\max }}}$, considerata poi la massima dimensione del circuito $L$ allora il tempo di propagazione è $t={\tfrac {L}{c}}$. Affinché l'ipotesi sia verificata allora ${\tfrac {L}{c}}\ll {\tfrac {1}{2f_{\max }}}$, in definitiva si può determinare la relazione:

$L\ll {\frac {c}{2f_{\max }}}$

Alla frequenza di rete di 50 Hz ad esempio la condizione è rispettata per circuiti di dimensione molto inferiore ai 3000 km.

Derivazione delle relazioni costitutive

Tramite le equazioni di Maxwell è possibile definire la velocità di propagazione del campo elettromagnetico $c$ attraverso la relazione:

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

Affinché sia rispettata l'ipotesi $c=\infty$ allora si deve avere $\varepsilon \mu =0$.

Elementi che non immagazzinano energia

Se un elemento circuitale ha permittività elettrica $\varepsilon =0$ e permeabilità magnetica $\mu =0$ allora l'induzione elettrica $\mathbf {D} =0$ e il campo magnetico $\mathbf {B} =0$ pertanto nel componente non è possibile che si possa immagazzinare energia potenziale elettrica o magnetica, essendo la densità di energia elettromagnetica $u={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )$. Si nota inoltre che essendo nulla l'induzione elettrica allora la densità di carica $\rho =0$ ovvero non possono essere accumulate cariche elettriche nel componente, di conseguenza la corrente di conduzione entrante deve essere uguale a quella uscente. Essendo nullo il campo magnetico allora $\nabla \times \mathbf {E} =0$ ovvero il campo elettrico è conservativo e quindi la tensione coincide con la differenza di potenziale tra due punti. In base quindi al valore assunto dai parametri $\mathbf {J} _{0}$, $\mathbf {E} _{0}$ e dalla conduttività elettrica $\sigma$ è possibile definire i elementi circuitali fondamentali che non immagazzinano energia.

• Circuito aperto: caratterizzato da $\mathbf {J} _{0}=0$, $\mathbf {E} _{0}=0$ e $\sigma =0$, si ha quindi che $\mathbf {J} =0$, ovvero l'elemento non è attraversato da corrente e quindi coincide con il vuoto.

$i=0$

• Cortocircuito: caratterizzato da $\mathbf {J} _{0}=0$, $\mathbf {E} _{0}=0$ e $\sigma =\infty$, si ha quindi che $\mathbf {E} =0$, ovvero l'elemento ha il potenziale costante in tutti i suoi punti e quindi coincide con un conduttore perfetto.

$v=0$

• Resistore: caratterizzato da $\mathbf {J} _{0}=0$, $\mathbf {E} _{0}=0$ e $\sigma \neq 0$, si ha quindi che $\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$, ovvero l'elemento trasforma irreversibilmente energia elettrica in calore.

$v=Ri$

• Generatore indipendente di corrente: caratterizzato da $\mathbf {J} _{0}\neq 0$, $\mathbf {E} _{0}=0$ e $\sigma =0$, si ha quindi che $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{0}$, ovvero l'elemento trasforma reversibilmente energia non elettrica in elettrica.

$v$

• Generatore indipendente di tensione: caratterizzato da $\mathbf {J} _{0}=0$, $\mathbf {E} _{0}\neq 0$ e $\sigma =\infty$, si ha quindi che $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}$, ovvero l'elemento trasforma reversibilmente energia non elettrica in elettrica.

$i$

Elementi che immagazzinano energia

• Induttore: caratterizzato da $\varepsilon =0$ e $\mu \neq 0$, l'elemento può immagazzinare energia magnetica, essendo la densità di energia magnetica $u_{m}={\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {H}$.

$v=L{\frac {di}{dt}}$

• Condensatore: caratterizzato da $\varepsilon \neq 0$ e $\mu =0$, l'elemento può immagazzinare energia elettrica, essendo la densità di energia elettrica $u_{e}={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$.

$i=C{\frac {dv}{dt}}$

Derivazione dei vincoli topologici

Le relazioni tra le correnti e tra le tensioni i un circuito sono determinate rispettivamente dalla legge di Kirchhoff delle correnti e dalla legge di Kirchhoff delle tensioni.

• Legge di Kirchhoff delle correnti: la somma delle correnti uscenti da una superficie chiusa qualsiasi è zero.
• Legge di Kirchhoff delle tensioni: la somma delle tensioni lungo un percorso chiuso qualsiasi è zero.

Prima legge di Kirchhoff

$\sum {i}=0$

Seconda legge di Kirchhoff

$\sum {v}=0$

Applicazioni

Le principali applicazioni della teoria dei circuiti comprendono lo studio delle proprietà generali dei circuiti e l'analisi dei circuiti, cioè lo studio e la realizzazione di metodi ed algoritmi per la simulazione degli stessi (v. simulazione circuitale) e la sintesi circuitale che consiste nello studio di metodi rigorosi per la progettazione di circuiti che realizzino funzioni richieste.

Bibliografia

• Giuseppe Martinelli e Mario Salerno, Fondamenti di Elettrotecnica: circuiti lineari e permanenti, vol. 1, 2ª ed., Roma, Siderea, gennaio 1997 [1979], SBN IT\ICCU\MIL\0177305.
• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II: elettromagnetismo ottica, Napoli, Liguori Editore, 1998 [1988], ISBN 88-207-1633-X.
• Adriano Paolo Morando e Sonia Leva, Elettrotecnica reti campi, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2001 [1998], ISBN 88-86524-21-8.
• Vitold Belevitch, Summary of the History of Circuit Theory, in Proceedings of the IRE, maggio 1962, DOI:10.1109/JRPROC.1962.288301.