Utente:Baroc/Sandbox3

In matematica, l'algebra di Lie speciale lineare ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$ di ordine n su un campo F, è l'algebra di Lie delle matrici $n\times n$ con traccia nulla e bracket definito come $[X,Y]:=XY-YX$. Quest'algebra è stata molto studiata, ed è usata come base per lo studio di altre algebre di Lie. Il gruppo di Lie che genera è il gruppo speciale lineare.

Proprietà

Una base standard di ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$ è costituita precisamente da $n^{2}-1$ elementi. In particolare, se chiamiamo $e_{i,j}$ la matrice con 1 nella posizione ${i,j}$ e 0 nelle altre, una base di è costituita dai seguenti vettori:

• $e_{i,j}\quad {\text{per }}i\neq j,\quad 1\leq i\leq n,\quad 1\leq j\leq n$
• $h_{i}=e_{i,i}-e_{i+1,i+1}\quad {\text{per }}1\leq i\leq n-1$

Per esempio, la base standard di ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )$ è formata dalle matrici

$e=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)$ $f=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right)$ $h=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),$

con

$[e,f]=h,\quad [h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f$

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