Teorema di Vitale

In matematica, il teorema di Vitale o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale è un teorema dovuto a Richard Vitale che generalizza la disuguaglianza di Brunn-Minkowski classica, che vale per i sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ, a insiemi compatti casuali.

Enunciato della disuguaglianza

Sia X un insieme compatto casuale in Rⁿ, ossia supponiamo di avere una funzione misurabile di Borel da uno spazio di probabilità (Ω, Σ, Pr) allo spazio dei sottoinsiemi compatti non vuoti di Rⁿ fornito di metrica di Hausdorff. Un vettore casuale V : Ω → Rⁿ è detto una selezione di X se Pr(V ∈ X) = 1. Se K è un sottoinsieme compatto non vuoto di Rⁿ, sia

$\|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}$

e definiamo l'aspettazione E[X] di X come

$\mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ è una selezione di }}X{\mbox{ e }}\mathrm {E} \|V\|<+\infty \}.$

Notiamo che E[X] è un sottoinsieme di Rⁿ. In questa notazione, il teorema di Vitale, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale, afferma che, per ogni insieme compatto casuale X con E[X] < +∞,

$\left(\mathrm {vol} \left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} (X)^{1/n}\right],$

dove vol denota la misura di Lebesgue n-dimensionale.

Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Se X assume i valori (insiemi compatti non vuoti) K and L con probabilità 1 − λ e λ rispettivamente, allora il teorema di Vitale, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale, è semplicemente l'originale teorema di Brunn-Minkowski, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski, per gli insiemi compatti.

Bibliografia

• Richard J. Gardner, The Brunn-Minkowski inequality (PDF), in Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 39, n. 3, 2002, pp. 355–405 (electronic), DOI:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.
• Richard A. Vitale, The Brunn-Minkowski inequality for random sets, in J. Multivariate Anal., vol. 33, 1990, pp. 286–293, DOI:10.1016/0047-259X(90)90052-J.

Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski