Teorema di Lindemann-Weierstrass

In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di $e$ e $\pi$ .

Esso afferma che se $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ , allora $e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}$ sono algebricamente indipendenti su $\mathbb {Q}$ .

Una formulazione equivalente è la seguente: se $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ sono numeri algebrici distinti, allora $e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}$ sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici.

Ferdinand von Lindemann provò per primo, nel 1882, che $e^{\alpha }$ è trascendente per ogni numero algebrico non nullo $\alpha$ , mentre nel 1885 Karl Weierstrass ha provato la versione più generale qua enunciata.