Teorema di Carmichael

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Carmichael esprime una relazione tra un numero di Fibonacci e i divisori dei termini ad esso precedenti. Più precisamente:

per ogni numero naturale $n>12$, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci $F_{n}$ che non divide $F_{k}$, per ogni $k<n$.

Per $n\leq 12$ si hanno le seguenti eccezioni:

• $F_{1}=1$ non ha fattori primi;
• $F_{2}=1$ non ha fattori primi;
• $F_{6}=8$ ha solo il fattore primo 2 e $F_{3}=2$;
• $F_{12}=144$ ha solo i fattori primi 2 e 3, e $F_{3}=2$ e $F_{4}=3$.

I fattori primi di un numero di Fibonacci $F_{n}$ che non dividono $F_{k}$, per ogni $k<n$, sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi. Quindi il teorema di Carmichael dice che ogni numero di Fibonacci, a parte le precedenti eccezioni, ammette almeno un fattore caratteristico.

Si noti che questo teorema non implica che se $p$ è un numero primo allora $F_{p}$ deve essere un numero primo. Ad esempio $F_{19}=4.181=37\times 113$, dove 19 è un numero primo, ma $F_{19}$ no.

Il teorema di Carmichael può essere generalizzato dai numeri di Fibonacci alle successioni di Lucas.

Bibliografia

• (EN) R. D. Carmichael, On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ+βⁿ, in Annals of Mathematics, vol. 15, n. 1/4, 1913, pp. 30–70, DOI:10.2307/1967797, JSTOR 1967797.
• (EN) R. Knott, Fibonacci numbers and special prime factors, Fibonacci Numbers and the Golden Section. URL consultato il 23 dicembre 2013 (archiviato dall'url originale il 6 settembre 2009).
• (EN) M. Yabuta, A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors (PDF), in Fibonacci Quarterly, vol. 39, 2001, pp. 439–443.

Voci correlate

• Successione di Fibonacci
• Funzione di Carmichael
• Numero di Carmichael
• Successione di Lucas
• Teorema di Zsigmondy