Teorema della proiezione

In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto $x$ in uno spazio di Hilbert $H$ e per ogni insieme convesso chiuso $C\subset H$ esiste un unico $y\in C$ tale per cui la distanza $\lVert x-y\rVert$ assume il valore minimo su $C$. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso $M$ di $H$: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per $y$ è che il vettore $x-y$ sia ortogonale a $M$.

Dimostrazione

Per mostrare l'esistenza di $y$, sia $\delta$ la distanza tra $x$ e $C$, sia $\{y_{n}\}$ una successione in $C$ tale per cui la distanza al quadrato tra $x$ e $y_{n}$ è minore o uguale a $\delta ^{2}+1/n$. Se $n$ e $m$ sono due interi allora, per la legge del parallelogramma:

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x+x-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2},$

da cui

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\|^{2}.$

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra $y_{n}$ e $y_{m}$ appartengono a $C$ (e quindi hanno una distanza da $x$ maggiore o uguale a $\delta$), si ottiene:

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)$

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che $\{y_{n}\}$ è una successione di Cauchy. Essendo $C$ completo, la successione converge in un punto $y\in C$ la cui distanza da $x$ è minima.

Per mostrare l'unicità di $y$, siano $y_{1}$ e $y_{2}$ due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

$\|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}.$

Dato che $(y_{1}+y_{2})/2$ appartiene a $C$ si ha:

$\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}\geq \delta ^{2}$

e quindi:

$\|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0.$

Pertanto $y_{1}=y_{2}$, che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su $y$ nel caso in cui $C=M$ è un sottospazio chiuso, sia $z\in M$ tale che $\langle z-x,a\rangle =0$ per tutti gli $a\in M$. La condizione è sufficiente in quanto:

$\|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2},$

che prova il fatto che $z$ è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo $y\in M$ un "minimizzatore". Sia $a\in M$ e $t\in \mathbb {R}$. Allora:

$\|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})$

è sempre non negativa. Quindi, $\langle y-x,a\rangle =0$.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
• (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Insieme convesso
• Spazio di Hilbert

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della proiezione, su MathWorld, Wolfram Research.