Superficie di Enneper

Superficie Enneper

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In matematica, nel campo della geometria differenziale e in geometria algebrica, la superficie di Enneper è una superficie che può essere descritta in forma parametrica da:

$x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,\$

$y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,\$

$z=(u^{2}-v^{2})/3.\$

È stata introdotta da Alfred Enneper in connessione con la Teoria delle superfici minime.

I metodi di implicitizzazione della geometria algebrica possono essere utilizzati per dimostrare che i punti appartenenti alla superficie di Enneper soddisfano la seguente equazione polinomiale di nono grado

$64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\$

${}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\$${}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\$

Dualmente, il piano tangente nel punto con parametri dati è $a+bx+cy+dz=0,\$ dove:

$a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),\$

$b=6u,\$

$c=6v,\$

$d=-3(1-u^{2}-v^{2}).\$

I suoi coefficienti soddisfano l'equazione polinomiale implicita di 6º grado:

$162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\$

${}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\$

Lo jacobiano, la Curvatura gaussiana e la Curvatura media sono date da:

$J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,\$

$K=-(4/9)/J,\$

$H=0.\$ La curvatura totale è $-4\pi$. Osserman dimostrò che una superficie minima completa in $\mathbb {R} ^{3}$ con curvatura totale $-4\pi$ è una catenoide oppure una superficie di Enneper. Un'altra proprietà è che tutte le superfici di Bézier bicubiche minimali sono, a meno di trasformazioni affini, pezzi della superficie di Enneper. Usando la parametrizzazione di Weierstrass-Enneper $f(z)=1,g(z)=z^{k}$, per un intero $k>1$, si può generalizzare la superficie di Enneper ad ordini maggiori di simmetrie rotazionali. Inoltre, si può generalizzare la superficie in dimensioni maggiori. Si è dimostrata l'esistenza di superfici di Enneper in $\mathbb {R} ^{n}$ per $n\leq 7$.

Codice Octave

È possibile avere un'immagine con Octave:

function enneper
  u = linspace(-10,10,30); % divide l'intervallo
  v = linspace(-10,10,30);

  [U,V] = meshgrid(u,v);

  x = U.*(1-(U.^2)/3 + V.^2)/3;
  y = -V.*(1-(V.^2)/3 + U.^2)/3;
  z = (U.^2-V.^2)/3;

  axis("equal");
  mesh(x,y,z);
  axis off; % toglie gli assi

endfunction

Una superficie di Enneper

ruotata di 60° attorno all'asse z

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Enneper's Minimal Surface, in MathWorld, Wolfram Research.