Riordinamento radiale

Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma $W^{1,p}$

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio $L^{p}$, può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Definizione

Insiemi

Dato un insieme misurabile $A$, il suo riordinamento radiale $A^{*}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ è dato da:

$A^{*}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\,\omega _{n}\cdot |x|^{n}<|A|\}$

dove $\omega _{n}$ è il volume della sfera unitaria e $|A|$ il volume di $A$. Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di $A$.

Funzioni

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa $f$ i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

$f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt$

Ovvero, il valore di $f^{*}(x)$ fornisce il valore $t$ tale per cui il raggio del riordinamento radiale di $\{y:f(y)>t\}$ è $x$. Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

$g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:g(y)>t\}}(x)\,dt$

è valida per ogni funzione non-negativa $g$; quindi la definizione data è l'unica che implica $\mathbb {I} _{A}^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}$.

Proprietà

• Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se $|x_{1}|=|x_{2}|$ allora $u^{*}(x_{1})=u^{*}(x_{2})$.

• Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se $|x_{1}|<|x_{2}|$ allora:

$\sup \,\{t\in [0,M)\,:\,\mu (t)>\omega _{n}|x_{1}|^{n}\}\geq \sup \,\{t\in [0,M)\,:\,\mu (t)>\omega _{n}|x_{2}|^{n}\}$

• Semicontinuità inferiore.

Teoremi

Stima di decrescita

Se $u$ è lipschitziana con costante di Lipschitz L e $t>h>0$, allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

$\mu (t-h)-\mu (t)\geq {\frac {h}{L}}\omega _{n}^{\frac {1}{n}}n\mu (t)^{\frac {n-1}{n}}$

Dimostrazione

Il numero $\mu (t-h)-\mu (t)$ rappresenta la misura dell'insieme $E_{t-h,t}=\{x:t-h<u(x)\leqslant t\}$, cioè:

$\mu (t-h)-\mu (t)={\mathcal {H}}^{n}(E_{t-h,t})$

La $u$ è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni $u$ e ${\frac {1}{|\nabla u|}}$, e si ottiene:

${\begin{aligned}{\frac {1}{h}}{\mathcal {H}}^{n}(E_{t-h,t})&={\frac {1}{h}}\int _{E_{t-h,t}}{\frac {1}{|\nabla u(x)|}}|\nabla u(x)|dx\\&={\frac {1}{h}}\int _{t-h}^{t}\int _{u^{-1}(s)}{\frac {1}{|\nabla u(x)|}}d{\mathcal {H}}^{n-1}ds\\&\geqslant {\frac {1}{h}}\int _{t-h}^{t}\int _{u^{-1}(t)}{\frac {1}{L}}d{\mathcal {H}}^{n-1}\\&={\frac {1}{Lh}}\int _{t-h}^{t}{\mathcal {H}}^{n-1}{\big (}u^{-1}(s){\big )}ds\\&\geqslant {\frac {1}{L}}\inf _{s\in (t-h,t)}{\mathcal {H}}^{n-1}{\big (}u^{-1}(s){\big )}\end{aligned}}$

Ricordando che $\mu (s)=|E_{s}|$ e che il bordo di $E_{s}$ è contenuto nell'insieme $\{x:u(x)=s\}$, per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

${\begin{aligned}(\mu (s))^{1-{\frac {1}{n}}}&\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}{\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E_{s})\\&\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}{\mathcal {H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).\end{aligned}}$:

La funzione $\mu$ è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

${\big (}\mu (t){\big )}^{1-{\frac {1}{n}}}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\inf _{s\in (t-h,t)}{\mathcal {H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).$:

Mettendo insieme le relazioni trovate:

$\mu (t-h)-\mu (t)\geqslant {\frac {h}{L}}\omega ^{\frac {1}{n}}n\mu (t)^{\frac {n-1}{n}}$

e si trova così la stima cercata.

Lipschitzianità del riordinamento

Sia $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ tale che $\lim _{|x|\to +\infty }u(x)=0$. Se $u$ è Lipschitziana con costante di Lipschitz $L$ allora anche la $u^{*}(x)$ è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma $L^{p}$ del riordinamento

Se $u$ è una funzione appartiene allo spazio $L^{p}$, anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

$\|u^{*}\|_{L^{p}}=\|u\|_{L^{p}}$

Dimostrazione

Esprimendo il calcolo della norma di $u$ in funzione della misura dei sopralivelli:

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)^{p}dx&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{+\infty }\chi _{(0,u(x))}(t)pt^{p-1}dt\right)dx\\&=\int _{0}^{+\infty }pt^{p-1}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{(t,+\infty )}(u(x))dx\right)dt\\&=\int _{0}^{+\infty }pt^{p-1}\mu (t)dt\end{aligned}}$

Lo stesso calcolo vale per la norma di $u^{*}$.

Norma $W^{1,p}$ del riordinamento

Vale la disuguaglianza di Pólya-Szegő, per cui se una funzione appartiene allo spazio $W^{1,p}$ anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

Bibliografia

• G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
• (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
• (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
• (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Pólya-Szegő
• Disuguaglianza di Sobolev
• Formula di coarea
• Teorema di Brothers-Ziemer