Relazione ternaria

In matematica, una relazione ternaria o relazione triadica è una relazione in cui il numero di posti nella relazione è tre. Le relazioni ternarie possono anche essere indicate come 3-adiche, 3-arie o 3-dimensionali.

Così come una relazione binaria è formalmente definita come un insieme di coppie, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B di due insiemi A e B, così una relazione ternaria è un insieme di triple, formanti un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B × C di tre insiemi A, B e C.

Un esempio di relazione ternaria in geometria elementare può essere dato sulle triple di punti, dove una terna è nella relazione se i tre punti sono collineari. Un altro esempio geometrico può essere ottenuto considerando delle terne costituite da due punti e una retta, dove una terna è nella relazione ternaria se i due punti determinano (sono incidenti a) la retta.

Esempi

Funzioni binarie

Una funzione f: A × B → C in due variabili associa ad ogni coppia (a, b) in A × B un elemento f(a, b) in C. Pertanto, il suo grafico è costituito da coppie della forma ((a, b), f(a, b)). Tali coppie, in cui il primo elemento è esso stesso una coppia, possono essere viste come triple. Ciò rende il grafico di f una relazione ternaria tra A, B e C, costituito da tutte le triple (a, b, f(a, b)), con a in A e b in B.

Ordini ciclici

Dato un qualsiasi insieme A i cui elementi sono disposti su una circonferenza, si può definire una relazione ternaria R su A, cioè un sottoinsieme di A³ = A × A × A, stabilendo che R(a, b, c) vale se e solo se gli elementi a, b e c sono a due a due diversi e andando da a a c in senso orario si passa per b. Ad esempio, se A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 rappresenta le ore sul quadrante di un orologio, allora R(8, 12, 4) è vero e R(12, 8, 4) è falso.

Relazione di congruenza

La congruenza ordinaria dell'aritmetica

$a\equiv b{\pmod {m}}$

che vale per tre numeri interi a, b e m se e solo se m divide a − b, formalmente può essere considerata come una relazione ternaria. Tuttavia, solitamente, viene invece considerata come una famiglia di relazioni binarie tra a e b, indicizzate dal modulo m. Infatti, per ogni m fissato, questa relazione binaria ha alcune proprietà naturali, come essere una relazione di equivalenza, mentre in generale la relazione ternaria risultante non è studiata come relazione unica.

Relazione di tipizzazione

Una relazione di tipizzazione $\Gamma \vdash e\!:\!\sigma$ indica che $e$ è un termine di tipo $\sigma$ nel contesto $\Gamma$, ed è quindi una relazione ternaria tra contesti, termini e tipi.

Regole di Schröder

Date le relazioni omogenee A, B, e C su un insieme, una relazione ternaria $(A,\ B,\ C)$ può essere definita usando la composizione delle relazioni AB e l'inclusione AB ⊆ C. All'interno del calcolo delle relazioni, ogni relazione $A$ ha una relazione inversa $A^{T}$ e una relazione complemento ${\bar {A}}$. Usando queste involuzioni, Augustus De Morgan ed Ernst Schröder hanno dimostrato che $(A,\ B,\ C)$ è equivalente a $({\bar {C}},B^{T},{\bar {A}})$ e anche equivalente a $(A^{T},\ {\bar {C}},\ {\bar {B}})$. Le mutue equivalenze di queste forme, costruite dalla relazione ternaria $(A,\ B,\ C)$, sono chiamate regole di Schröder.

Bibliografia

• Dale Myers, An interpretive isomorphism between binary and ternary relations, in Mycielski, Grzegorz Rozenberg e Arto Salomaa (a cura di), Structures in Logic and Computer Science, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1261, Springer, 1997, pp. 84–105, DOI:10.1007/3-540-63246-8_6, ISBN 3-540-63246-8.
• Vítězslav Novák, Ternary structures and partial semigroups, in Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 46, n. 1, 1996, pp. 111–120.
• Vítězslav Novák e Miroslav Novotný, Transitive ternary relations and quasiorderings, in Archivum Mathematicum, vol. 25, 1–2, 1989, pp. 5–12.
• Vítězslav Novák e Miroslav Novotný, Binary and ternary relations, in Mathematica Bohemica, vol. 117, n. 3, 1992, pp. 283–292.
• Miroslav Novotný, Ternary structures and groupoids, in Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 41, n. 1, 1991, pp. 90–98.
• Josef Šlapal, Relations and topologies, in Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 43, n. 1, 1993, pp. 141–150.