Punto di Lebesgue

In matematica, data una funzione Lebesgue integrabile $f$, un punto di Lebesgue è un punto $x$ nel dominio di $f$ tale che:

$\lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}\!|f(y)-f(x)|\,dy=0$

dove $B(x,r)$ è la sfera centrata in $x$ di raggio $r$, e $|B(x,r)|$ è la misura di Lebesgue di quella sfera. L'insieme dei punti di Lebesgue di una funzione è detto insieme di Lebesgue.

Per il teorema di Lebesgue, data una funzione $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})$, quasi ogni $x$ è un punto di Lebesgue.

Bibliografia

• (EN) A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis , 1–2 , Graylock (1957–1961)
• (EN) E.M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions , Princeton University Press (1970)

Voci correlate

• Integrale di Lebesgue
• Teorema di Lebesgue

Collegamenti esterni

• (EN) K.I. Oskolkov, Lebesgue point, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.