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L'operatore di Stokes , che prende il nome da George Gabriel Stokes , è un operatore lineare limitato usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali , particolarmente in fluidodinamica ed elettromagnetismo .
L'operatore di Stokes
A
{\displaystyle A}
è definito come
A
:=
−
P
σ
Δ
,
{\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}
dove
P
σ
{\displaystyle P_{\sigma }}
è la proiezione di Leray e
Δ
≡
∇
2
{\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}
è il laplaciano .
A
{\displaystyle A}
è definito su
D
(
A
)
=
H
2
∩
V
{\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V}
, dove
V
=
{
u
→
∈
(
H
0
1
(
Ω
)
)
n
|
div
u
→
=
0
}
{\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}}
.
Ω
{\displaystyle \Omega }
è un insieme aperto limitato in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
,
H
2
(
Ω
)
{\displaystyle H^{2}(\Omega )}
e
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}
sono spazi di Sobolev , e la divergenza di
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
è nel senso delle distribuzioni .
Per un dato dominio
Ω
{\displaystyle \Omega }
aperto, limitato e con contorno in
C
2
{\displaystyle C^{2}}
, l'operatore di Stokes
A
{\displaystyle A}
è un operatore autoaggiunto definito positivo rispetto al prodotto interno di
L
2
{\displaystyle L^{2}}
. Ha una base ortonormale di autofunzioni
{
w
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}
che corrispondono agli autovettori
{
λ
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}
che soddisfa
0
<
λ
1
<
λ
2
≤
λ
3
⋯
≤
λ
k
≤
⋯
{\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }
con
λ
k
→
∞
{\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow \infty }
per
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
. Il più piccolo degli autovettori è unico e non nullo. Queste proprietà permettono di definire le potenze dell'operatore di Stokes. Sia
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
un numero reale, allora
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
può essere definito tramite la sua azione su
u
→
∈
D
(
A
)
{\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}
:
A
α
u
→
=
∑
k
=
1
∞
λ
k
α
u
k
w
k
→
{\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}
dove
u
k
:=
(
u
→
,
w
k
→
)
{\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})}
e
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
è il prodotto interno di
L
2
(
Ω
)
{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
.
L'inverso
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
dell'operatore di Stokes è un operatore compatto e autoaggiunto nello spazio
H
:=
{
u
→
∈
(
L
2
(
Ω
)
)
n
|
div
u
→
=
0
e
γ
(
u
→
)
=
0
}
{\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ e }}\gamma ({\vec {u}})=0\}}
, dove
γ
{\displaystyle \gamma }
è l'operatore traccia . Inoltre,
A
−
1
:
H
→
V
{\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}
è iniettivo.
Roger Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis , AMS Chelsea Publishing , 2001, ISBN 0-8218-2737-5 .
Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations , University of Chicago Press, (1988)