Matrice a diagonale dominante

In algebra lineare una matrice a diagonale dominante in senso debole per righe, o più comunemente matrice a diagonale dominante per righe, è una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:

$|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia

$|a_{ii}|>\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|,$

la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe.

Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia

$|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ji}|\qquad {\text{e}}\qquad |a_{ii}|>\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ji}|,$

si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante (in senso debole) per colonne e una matrice a diagonale dominante in senso stretto (o in senso forte) per colonne.

Proprietà

Valgono i seguenti teoremi:

• Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Non è vero per una matrice dominante: ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ non è invertibile.

• Se $A$ è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione $A=LU$ può essere ottenuta senza pivoting.

• Se la matrice dei coefficienti $A$ di un sistema lineare $Ax=b$ è a diagonale dominante in senso stretto, i metodi di risoluzione iterativa di Jacobi e Gauss-Seidel convergono alla soluzione del sistema.

• Ogni sottomatrice principale (sottomatrice quadrata ottenuta eliminando righe e colonne di uguale indice) di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.

• Se $A$ è una matrice simmetrica a diagonale dominante in senso stretto con elementi sulla diagonale tutti positivi, allora $A$ è anche definita positiva.