Lemma del cerchio grande

In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.

Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme aperto illimitato del piano complesso $\mathbb {C}$. Sia $f(z)$ olomorfa in $\Omega$ e tale che:

$\lim _{z\in \Omega ;\,|z|\rightarrow +\infty }zf(z)=0,$

allora

$\lim _{R\rightarrow +\infty }\,\,\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz=0,$

dove $R$ rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.

Dimostrazione

Costruzione di una curva regolare a tratti per calcolare l'integrale

Si ha che:

$\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,M>0:\forall \,R>M\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|<\varepsilon$

Inoltre vale che:

$\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}\,:\,\forall z,\,\left|z\right|>M\,\,\Rightarrow \left|z\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}$

Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:

$\left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }\left|f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\,dz=$

Poiché si è supposto $R>M$, con $R=\left|z\right|$, ed essendo $\left|z\right|$ il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:

$={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }dz={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\cdot (\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|=\varepsilon$

L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli $\phi _{1},\,\phi _{2}$.

Voci correlate

• Lemma del cerchio piccolo
• Analisi complessa
• Polo (analisi complessa)