Identità di Green

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Le identità di Green, il cui nome è dovuto a George Green, sono due corollari del teorema della divergenza per funzioni continue e differenziabili al second'ordine.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Prima identità di Green[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni scalari definite in una regione , con derivabile due volte con continuità e derivabile con continuità. Considerando il campo vettoriale , con il gradiente di , il teorema della divergenza mostra che:[1]

dove è il versore uscente normale all'elemento di superficie e la superficie che delimita . Dal momento che:

si ottiene la prima identità di Green:[2]

dove è il laplaciano e:

con la derivata rispetto alla direzione . Tale teorema è sostanzialmente la versione in più dimensioni dell'integrazione per parti, con ed il gradiente di rimpiazzati con e .

La prima identità di Green è un caso particolare della più generale identità ottenuta dal teorema della divergenza sostituendo :

Seconda identità di Green[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono derivabili due volte con continuità su e è derivabile con continuità, si può scegliere ed ottenere:[2]

Nel caso particolare in cui allora:

Terza identità di Green[modifica | modifica wikitesto]

La terza identità di Green deriva dalla seconda ponendo , dove è la funzione di Green del laplaciano. Questo significa che:

Ad esempio in si ha una soluzione della forma:

La terza identità afferma che se è derivabile due volte con continuità su allora:

Nel caso in cui è una funzione armonica, ovvero è essa stessa soluzione dell'equazione di Laplace, allora e l'identità si semplifica assumendo la forma:

Il secondo termine nel precedente integrale può essere eliminato scegliendo in modo che si annulli sulla frontiera di :

Tale forma è usata per costruire soluzioni al problema delle condizioni al contorno di Dirichlet, mentre per le condizioni al contorno di Neumann si utilizza invece la funzione di Green il cui gradiente si annulla sulla frontiera.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition), Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
  2. ^ a b Jackson, Pag. 36.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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