Gruppo unitario

Il gruppo unitario U(n) è l'insieme delle matrici unitarie n×n con l'operazione di moltiplicazione tra matrici. È un sottogruppo di $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$, cioè il gruppo lineare generale delle matrici complesse invertibili.

Il sottoinsieme di esso che comprende solamente le matrici con determinante 1 è il gruppo unitario speciale, denotato con SU(n).

U(n) è un gruppo di Lie di dimensione n².

Se n=1, allora U(n) è semplicemente l'insieme dei numeri complessi con norma pari a 1. Per n>1, invece, il gruppo non è commutativo; il suo centro è l'insieme aI, dove I è la matrice identità di ordine n e a è un qualunque scalare la cui norma è uguale a 1.

Il gruppo U(1) è isomorfo al gruppo circolare.

Matrice unitaria

In matematica, una matrice unitaria n × n è una matrice complessa U che soddisfa la condizione:

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}$

dove $I_{n}$ è la matrice identità $n\times n$ e $U^{\dagger }$ è la trasposta coniugata (ovvero la aggiunta hermitiana) della $U$. Si noti che la precedente uguaglianza equivale a dire che una matrice $U$ è unitaria se possiede una inversa uguale alla sua coniugata trasposta $U^{\dagger }$.

Una matrice unitaria avente tutte le entrate reali è una matrice ortogonale.

Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado $n$, abbreviato con SU($n$), è il gruppo di $n\times n$ matrici unitarie con determinante unitario. L'operazione interna al gruppo corrisponde alla moltiplicazione tra matrici. Il gruppo speciale unitario è un sottogruppo del gruppo unitario U($n$), che include tutte le matrici unitarie $n\times n$, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale GL($n$, C).

Il caso più semplice, ovvero SU(1), è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo SU(2) è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo nei confronti di un sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da SU(2) fino al gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è {+$I$, −$I$}.

Bibliografia

• (EN) Halzen, Francis; Martin, Alan, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2.
• (EN) Jean Dieudonné (1977): Treatise on Analysis. Volume V: Compact Lie Groups and Semisimple Lie Groups, Academic Press, ISBN 0-12-215505-X
• (EN) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Lie groups and Lie algebras, Springer, ISBN 3-540-50218-1

Voci correlate

• Gruppo unitario speciale
• Teoria dei gruppi
• Glossario sulle matrici
• Algebra di Clifford
• Gruppo ortogonale

Collegamenti esterni

• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups, su arxiv.org.