Anello di Gorenstein

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.

Un anello di Gorenstein locale è un anello locale, commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R-modulo è finita.

Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay.

Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius.

Definizioni equivalenti

Un anello locale, commutativo, noetheriano $(R,m,k)$, con dimensione di Krull $n$, è detto anello di Gorenstein locale di dimensione $n$ se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti:

• $R$ ha dimensione iniettiva finita come $R$-modulo;
• $R$ ha dimensione iniettiva $n$ come $R$-modulo;
• $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per $i\neq n$ e $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ è isomorfo a $k$;
• $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per qualche $i>n$;
• $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per ogni $i<n$ e $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ è isomorfo a $k$.

Caso non commutativo

Un anello R (non necessariamente commutativo) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R-modulo sinistro che come R-modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale.

Esempi

• Ogni anello locale regolare è di Gorenstein.
• L'anello k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²–xy) è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.

Proprietà

Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.

Bibliografia

• (EN) Hyman Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, in Mathematische Zeitschrift, vol. 82, 1963, pp. 8–28, DOI:10.1007/BF01112819, ISSN 0025-5874, MR 0153708.
• (EN) Winfried Bruns e Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, 1993, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956.
• (EN) D. Gorenstein, An arithmetic theory of adjoint plane curves, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 72, 1952, pp. 414–436, ISSN 0002-9947, MR 0049591.
• (EN) Alexandre Grothendieck, Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents, in Séminaire Bourbaki, Vol. 4, Paris, Société Mathématique de France, 1957, pp. 169–193, MR 1610898.
• (EN) F. S. Macaulay, Modern algebra and polynomial ideals, in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 30, n. 1, 1934, pp. 27–46, DOI:10.1017/S0305004100012354, ISSN 0305-0041.
• (EN) Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• (FR) Jean-Pierre Serre, Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, vol. 14, 1961, pp. 1–16.

Voci correlate

• Anello locale regolare
• Anello di Cohen-Macaulay
• Anello di Frobenius
• Funtore Ext
• Roberto Dvornicich

Collegamenti esterni

• (EN) Anello di Gorenstein, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.