Geometria senza punti

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Sotto il nome di geometria senza punti, in inglese point-free geometry, vengono indicate ricerche tendenti a fondare la geometria assumendo come nozione primitiva quella di regione per poi giungere a definire quella di punto. Per pervenire a tale definizione viene proposta una formalizzazione del processo di astrazione che conduce dalle regioni agli enti geometrici astratti.

Una delle origini della geometria senza punti risale all'apparizione di due libri di Alfred North Whitehead (1919, 1920), in cui è assunta come primitiva la relazione di inclusione tra regioni. Per meglio dire non viene analizzata l'idea regione ma la nozione di evento e di estensione di un evento sull'altro in uno spazio di dimensione quattro. Per una introduzione alla teoria di Whitehead si veda Kneebone (1963), capitolo 13.5, e Lucas (2000), capitolo 10. Successivamente, in Process and Reality, in risposta a varie critiche, Whitehead propose un diverso approccio basato non più sull'inclusione ma sulla relazione topologica di connessione tra regioni. Con tale termine si intende il sovrapporsi o lo stare in contatto di due regioni. Gli scopi di Whitehead in tali scritti erano di carattere filosofico piuttosto che scientifico o matematico. Tuttavia le sue idee furono successivamente formalizzate allo scopo di individuare una base rigorosa per la geometria senza punti. Quasi contemporaneamente, nell'ambito della scuola polacca della "mereologia", nel 1927 il famoso matematico A. Tarski propone il primo lavoro di carattere matematico, lavoro basato sulle nozioni primitive di regione e di cerchio. Una volta definita la relazione di concentricità, che risulta essere una relazione di equivalenza, definisce un punto come una classe completa di equivalenza di cerchi concentrici (si veda in Tarski (1929)).

Geometria senza punti basata sulla relazione di inclusione[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito elenchiamo assiomi implicitamente suggeriti nei primi due volumi Whitehead come sono stati rielaborati nel lavoro di Gerla e Miranda (2008). Tali lavori hanno carattere mereologico coinvolgendo la sola nozione primitiva di inclusione, denotata con "≤".

  • L'inclusione è una relazione d'ordine
G1.
G2.
G3.
  • Date due regioni, esiste una regione che le contiene entrambe
G4.
  • L'ordine è denso
G5.
  • Non esistono atomi e non esiste una regione universale
G6.
  • Principio delle parti proprie.
G7.

Chiameremo spazio di inclusione un modello di G1–G7. Sistemi di assiomi simili sono stati proposti in Simons's (1987 - 83)[1]. Un aspetto fondamentale della proposta di Whitehead è la possibilità di formalizzare il processo di astrazione che conduce all'idea di punto. In proposito si suggerisce A.C. Varzi (2021).

Definizione: Dato uno spazio di inclusione, una classe astrattiva è una classe totalmente ordinata G di regioni tale che nessuna regione è contenuta in tutte le regioni in G. Una opportuna relazione di equivalenza permette di identificare classi astrattive e di giungere alla nozione di elemento geometrico astratto con un passaggio a quoziente.

Intuitivamente una classe astrattiva definisce un ente geometrico la cui dimensione è minore di quello dello spazio in cui ci si muove. Un opportuno ordinamento tra gli enti geometrici permette di definire i punti come ente geometrico che non ha parti.

Geometria senza punti basata sulla relazione di connessione[modifica | modifica wikitesto]

Nel suo libro del 1929 Process and Reality, Whitehead propose un approccio differente ispirato da De Laguna (1922) in cui viene assunta come primitiva la nozione topologica di "contatto" tra due regioni. Come mostrato in Gerla and Miranda (2008), tale passaggio si rende necessario per una più adeguata definizione di ente geometrico . Una formalizzazione di tale teoria è la seguente (si veda anche Clarke (1981)) dove con la lettera C viene denota la relazione binaria di connessione.

  • C è riflessiva
C1.
  • C è simmetrica
C2.
  • C è estensionale
C3.

La relazione di inclusione viene definita ponendo xy se e solo se ∀z[CzxCzy].

  • Ogni regione ha una parte propria e quindi non esistono atomi.
C4.
  • Date due regioni esiste una regione che si connette ad entrambe
C5.
  • Ogni regione ha due sottoregioni non connesse tra loro
C6.

Ogni modello di tale sistema di assiomi viene chiamato uno spazio di connessione. Differentemente dalla teoria degli spazi di inclusione, tale teoria permette di definire l'inclusione "non-tangenziale"[2].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Si vedano anche Stoll, R. R., 1963. Set Theory and Logic e Dover 1979. P. 423.
  2. ^ ed una conseguente definizione dei processi di astrazione. Si confronti tale nozione con quella di Casati and Varzi's (1999)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Biacino L., and Gerla G., 1991, "Connection Structures," Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
  • Casati, R., and Varzi, A. C., 1999. Parts and places: the structures of spatial representation. MIT Press.
  • Clarke, Bowman, 1981, "A calculus of individuals based on 'connection'," Notre Dame Journal of Formal Logic 22: 204-18.
  • ------, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449-61.
  • Gerla G., 2021, "Point-Free Continuum" in: The History of Continua: Philosophical and Mathematical Perspectives. Edited by :Stewart Shapiro and Geoffrey Hellman, Oxford University, 347-378.
  • --------, 2022, "Geometria senza punti", AphEx, Portale Italiano di Filosofia Analitica, Temi, 25, 2022, ISSN 2036-9972.
  • --------, and Miranda A., 2008, "Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry," in Michel Weber and Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought, Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 & X2.
  • Gruszczynski R., and Pietruszczak A., 2008, "Full development of Tarski's geometry of solids," Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540.
  • Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizability of geometry without points," Synthese 12: 228-235.
  • Kneebone, G., 1963. Mathematical Logic and the Foundation of Mathematics. Dover reprint, 2001.
  • Lucas, J. R., 2000. Conceptual Roots of Mathematics. Routledge. Chpt. 10, on "prototopology,".
  • Roeper, P., 1997, "Region-Based Topology," Journal of Philosophical Logic 26: 251-309.
  • Simons, P., 1987. Parts: A Study in Ontology. Oxford University Press.
  • Tarski A., 1929, Les Fondements de la géométrie des corps' (résumé), Annales de la Société Polonaise de Mathémathiques, Low, 7, 10, IX, 1927, Krakov: 29-33.
  • Varzi A. C., 2021, "Points as Higher-Order Constructs: Whitehead's Method of Extensive Abstraction", in: The History of Continua: Philosophical and Mathematical Perspectives. Edited by :Stewart Shapiro and Geoffrey Hellman, Oxford University, 347-378.
  • Whitehead, A.N., 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace," Revue de Metaphysique et de Morale 23: 423-454. Translated as Hurley, P.J., 1979, "The relational theory of space," Philosophy Research Archives 5: 712-741.
  • --------, 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge University Press. 2nd ed., 1925.
  • --------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge University Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
  • --------, 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.