Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor $\mathrm {Ki} _{n}(x)$, dove $n\in \mathbb {N}$ e $x\in \mathbb {R}$ sono definite come:

$\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh u}}{\cosh ^{n}u}}\,du,$

dove $cosh$ è la funzione coseno iperbolico.

Proprietà

Si ha:

${\frac {d}{dx}}\mathrm {Ki} _{n}(x)=-\mathrm {Ki} _{n-1}(x).$

Per $n=0$,

$\mathrm {Ki} _{0}(x)=\mathrm {K} _{0}(x)$

dove $\mathrm {K} _{0}$ è una funzione di Bessel modificata.

Per $n=1$

$\mathrm {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }\mathrm {K} _{0}(t)\,dt.$

La funzione $\mathrm {Ki} _{1}(x)$ è anche collegata con l'integrale di Sievert:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi e^{-x/\cos \phi }=\mathrm {Ki} _{1}(x).$

Più generalmente,

$\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi \cos ^{n-1}\phi e^{-x/\cos \phi }$.

Applicazioni

Le funzioni di Bickley-Naylor si incontrano in problemi di diffusione dei neutroni e problemi di convezione.

Bibliografia

• (EN) W. G. Bickley, Some solutions of the problem of forced convection, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londraid= DOI: 10.1080/14786443508561482, Taylor & Francis, 1935, pp. 322-343.
• (EN) W. G. Bickley, John Nayler, A short table of the functions Ki_n(x), from n=1 to n=16, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londra, Taylor & Francis, 1935, pp. 343-347, DOI: 10.1080/14786443508561483.
• (EN) J. M. Blair, C. A. Edwards; J. H. Johnson, Rational Chebyshev Approximations for the Bickley Functions Ki_n(X), in Mathematics of Computation, vol. 32, n. 143, American Mathematical Society, luglio 1978, pp. 876-886, JSTOR 2006492.

Collegamenti esterni

• BICKLEY-NAYLOR FUNCTIONS Ki_n(x) AND THEIR PROPERTIES (PDF), su www2.ogu.edu.tr. URL consultato il 21 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2010).
• (EN) Digital Library of Mathematical Functions, Fractional Integrals, su dlmf.nist.gov. URL consultato l'11 novembre 2012.