Funzione gamma sui numeri reali In matematica , la funzione Gamma , nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa , continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi , nel senso che per ogni numero intero non negativo
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
dove
n
!
{\displaystyle n!}
n
,
{\displaystyle n,}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
n
!
=
1
⋅
2
⋅
3
⋯
n
{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}
Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso La notazione
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Legendre . Se la parte reale del numero complesso
z
{\displaystyle z}
integrale
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
converge assolutamente . Comunque, usando la continuazione analitica , si può estendere la definizione della
Γ
{\displaystyle \Gamma }
z
{\displaystyle z}
integrazione per parti , in effetti, si può dimostrare che:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,,}
per cui si ha:
Γ
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}
In questo modo, la definizione della
Γ
{\displaystyle \Gamma }
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}
R
e
(
z
)
>
−
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }
Siccome
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
.
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\,.}
In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale ) l'integrale:
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
2
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}}
che si ottiene ponendo
x
2
2
=
t
{\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t}
x
=
2
t
{\displaystyle x={\sqrt {2t}}}
d
x
=
2
2
t
d
t
{\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
2
∫
0
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
2
∫
0
+
∞
2
2
t
−
1
2
e
−
t
d
t
=
2
Γ
(
1
2
)
=
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}
Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
)
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}}
dovuta a Gauss ,
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni , dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione
1
Γ
(
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}}
Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:
Γ
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
n
!
1
z
+
n
+
∫
1
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}
In questa formula sono espliciti i poli di ordine
1
{\displaystyle 1}
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
z
=
−
n
{\displaystyle z=-n}
n
{\displaystyle n}
La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza . Infatti
lim
z
→
0
Γ
(
z
)
=
lim
z
→
0
Γ
(
z
+
1
)
z
=
lim
z
→
0
1
z
,
{\displaystyle \lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},}
dove è stato fatto uso della relazione
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
,
z
∉
Z
,
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}
e quella di duplicazione:
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z)}
che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
1
/
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)}
la quale per
z
=
0
{\displaystyle z=0}
Γ
(
1
m
)
Γ
(
2
m
)
⋯
Γ
(
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}}
Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica
∏
k
=
1
m
−
1
sin
k
π
m
=
m
2
m
−
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}}
Le derivate della funzione Gamma:
Γ
(
n
)
(
z
)
=
∫
0
+
∞
[
ln
(
t
)
]
n
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:
Γ
′
(
z
)
=
Γ
(
z
)
ψ
0
(
z
)
,
{\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),}
dove
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
funzione poligamma di ordine zero. In particolare,
Γ
′
(
1
)
=
−
γ
,
{\displaystyle \Gamma '(1)=-\gamma ,}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni .
Si ha, inoltre:
d
d
z
ln
Γ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
ψ
0
(
z
)
=
−
γ
−
1
z
−
∑
n
=
1
∞
(
1
n
+
z
−
1
n
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)}
che per
z
=
m
{\displaystyle z=m}
ψ
0
(
m
)
=
Γ
′
(
m
)
Γ
(
m
)
=
−
γ
+
1
+
1
2
+
⋯
+
1
m
−
1
=
−
γ
+
H
m
−
1
{\displaystyle \psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}}
dove
H
m
−
1
{\displaystyle H_{m-1}}
numero armonico .
Derivando membro a membro rispetto a
z
{\displaystyle z}
d
d
z
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
ψ
1
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
z
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}}
che per
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
serie armonica generalizzata di ordine 2
[
d
d
z
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
]
z
=
1
=
ψ
1
(
1
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
1
)
2
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955 .
Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine
m
{\displaystyle m}
ψ
m
(
z
)
:=
(
d
d
z
)
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
ψ
0
(
z
)
{\displaystyle \psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)}
Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:
Γ
(
1
2
)
=
π
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}
che si può trovare ponendo
z
=
1
2
{\displaystyle z={\frac {1}{2}}}
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali , sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Γ
(
n
2
)
=
(
n
−
2
)
!
!
2
(
n
−
1
)
/
2
π
=
(
n
2
−
1
n
−
1
2
)
(
n
−
1
2
)
!
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!{\sqrt {\pi }}}
Γ
(
−
n
2
)
=
π
(
−
1
/
2
n
+
1
2
)
(
n
+
1
2
)
!
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{\Biggl (}{\begin{matrix}-1/2\\{\frac {n+1}{2}}\end{matrix}}{\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2}}\right)!}}}
dove
n
!
!
{\displaystyle n!!}
semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale .
Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa .
Donato Greco , Complementi di Analisi , capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4 . Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Analisi Matematica Due , capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1 . (EN Handbook of Mathematical Functions (DE Handbuch der theorie der gammafunktion 
![{\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f642585e2f3ff3e135f18f3ae870b0d6992ccaee)
![{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a426d25fac1a62bca27f601d134d24696c3ea039)
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