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In matematica , la funzione K è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale Neil Sloane e Simon Plouffe , così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali .
La funzione
K
{\displaystyle K}
K
(
z
)
:=
(
2
π
)
−
z
+
1
2
exp
[
(
z
2
)
+
∫
0
z
−
1
d
t
ln
(
t
!
)
]
.
{\displaystyle K(z):=(2\pi )^{\frac {-z+1}{2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}dt\,\ln(t!)\right].}
essa si può anche esprimere in forma chiusa come:
K
(
z
)
=
exp
[
ζ
′
(
−
1
,
z
)
−
ζ
′
(
−
1
)
]
{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}
mediante derivate della funzione zeta di Riemann
ζ
′
(
z
)
{\displaystyle \zeta '(z)}
funzione zeta di Hurwitz
ζ
(
a
,
z
)
{\displaystyle \zeta (a,z)}
ζ
′
(
a
,
z
)
≡
[
d
ζ
(
s
,
z
)
d
s
]
s
=
a
.
{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\equiv \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}
La funzione
K
{\displaystyle K}
funzione Gamma e alla funzione G di Barnes ; per argomenti
n
{\displaystyle n}
K
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
G
(
n
)
.
{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}
Più concretamente possiamo scrivere
K
(
n
)
=
1
1
2
2
3
3
⋯
(
n
−
1
)
n
−
1
.
{\displaystyle K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}
La successione di questi valori, cioè la successione degli iperfattoriali, costituisce la sequenza A002109 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . I valori di questa successione relativi a
n
=
0
,
1
,
…
,
10
{\displaystyle n=0,1,\ldots ,10}
1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000,
55696437941726556979200000, 21577941222941856209168026828800000,
215779412229418562091680268288000000000000000 Benoit Cloitre nel 2003 ha dimostrato che
1
K
(
n
)
=
(
−
1
)
n
det
|
−
1
−
1
−
1
⋯
−
1
1
2
1
4
1
8
⋯
1
2
n
−
1
3
−
1
9
−
1
27
⋯
−
1
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
(
−
1
)
n
n
(
−
1
)
n
n
2
(
−
1
)
n
n
3
⋯
(
−
1
)
n
n
n
|
{\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}{\mbox{det}}{\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n}}\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2}}&{(-1)^{n} \over n^{3}}&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n}}\\\end{vmatrix}}}
![{\displaystyle K(z):=(2\pi )^{\frac {-z+1}{2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}dt\,\ln(t!)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb436882fbababe689573de6adae50c131a5c75c)
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\equiv \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aada00e5aa3e969f095cfebc6ee5e0cd6975ff10)
