Estrapolazione di Richardson

L'estrapolazione di Richardson è un metodo che permette la costruzione di approssimazioni numeriche di ordine superiore a partire da formule di ordine inferiore. Prende il nome da Lewis Fry Richardson, che introdusse il metodo agli inizi del XX secolo, ed è una tecnica importante in analisi numerica, definita da alcuni autori come un metodo per "trasformare il piombo in oro" e "la cui importanza difficilmente può essere sopravvalutata".

Applicazioni dell'estrapolazione di Richardson includono il metodo di Romberg, che applica l'estrapolazione di Richardson alla regola del trapezio, e l'algoritmo di Bulirsch-Stoer per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie.

Formulazione

Sia data una funzione $A^{*}$ e una sua approssimazione numerica $A(h)$ con passo $h$ e errore di troncamento di ordine $O(h^{k_{0}})$

$A^{*}=A(h)+e$

il cui residuo $e=O(h^{k_{0}})$ ha forma

$e=C_{0}h^{k_{0}}+C_{1}h^{k_{1}}+C_{2}h^{k_{2}}+\cdots$

dove $C_{i}$ sono costanti ignote e $k_{i}$ sono costanti note e tali che $k_{i+1}>k_{i}\;\forall i$.

Applicando l'approssimazione $A$ con passo ${\frac {h}{t}}$, dove $t>0$ è una costante arbitraria, si ottiene

$A^{*}=A\left({\frac {h}{t}}\right)+C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}+O\left(h^{k_{1}}\right).$

Moltiplicando entrambi i membri per $t^{k_{0}}$ e sottraendo la formula originale

$A^{*}=A(h)+C_{0}h^{k_{0}}+O(h^{k_{1}})$

il termine di errore di ordine $k_{0}$ si cancella

$t^{k_{0}}A^{*}-A^{*}=t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)+{\cancel {t^{k_{0}}C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}}}-{\cancel {C_{0}h^{k_{0}}}}+O(h^{k_{1}})$

ottenendo una nuova formula di ordine $k_{1}>k_{0}$

$A^{*}={\frac {t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)}{t^{k_{0}}-1}}+O(h^{k_{1}})$

Il metodo può essere applicato ricorsivamente, costruendo una successione di formule

$A_{i+1}(h)={\frac {t^{k_{0}}A_{i}\left({\frac {h}{t}}\right)-A_{i}(h)}{t^{k_{0}}-1}}$

con $A_{0}(h)=A(h)$, tale che $A^{*}=A_{i}(h)+O(h^{k_{i}})$.

Bibliografia

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Ivan Dimov, Zahari Zlatev, Istvan Farago, Agnes Havasi: Richardson Extrapolation: Practical Aspects and Applications, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, ISBN 9783110533002 (2017).

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estrapolazione di Richardson, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications Archiviato il 22 dicembre 2018 in Internet Archive., mit.edu
• (EN) Richardson-Extrapolation
• (EN) Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia)