Soluzioni dell'equazione di Lane-Emden per n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 In astrofisica , l'equazione di Lane-Emden è una forma adimensionale dell'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un fluido politropico , autogravitante, a simmetria sferica. Prende il nome dagli astrofisici Jonathan Homer Lane e Robert Emden .[1]
1
ξ
2
d
d
ξ
(
ξ
2
d
θ
d
ξ
)
+
θ
n
=
0
,
{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}
dove
ξ
{\displaystyle \xi }
θ
{\displaystyle \theta }
ρ
=
ρ
c
θ
n
{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}
ρ
c
{\displaystyle \rho _{c}}
n
{\displaystyle n}
P
=
K
ρ
1
+
1
n
{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}
dove
P
{\displaystyle P}
ρ
{\displaystyle \rho }
K
{\displaystyle K}
condizioni al contorno standard sono
θ
(
0
)
=
1
{\displaystyle \theta (0)=1}
θ
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle \theta '(0)=0}
politropiche di indice
n
{\displaystyle n}
Fisicamente, l'equilibrio idrostatico collega il gradiente del potenziale, la densità e il gradiente della pressione, mentre l'equazione di Poisson collega il potenziale con la densità. Pertanto, se abbiamo un'equazione ulteriore che detta come la pressione e la densità variano l'una rispetto all'altra, si può ottenere una soluzione. La scelta di un gas politropico porta all'equazione di Lane–Emden. L'equazione è un'utile approssimazione per le sfere di plasma autogravitanti come le stelle, ma tipicamente è un'assunzione piuttosto limitata.
Si consideri un fluido autogravitante a simmetria sferica in equilibrio idrostatico . La massa si conserva e quindi vale l'equazione di continuità
d
m
d
r
=
4
π
r
2
ρ
{\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }
dove
ρ
{\displaystyle \rho }
r
{\displaystyle r}
1
ρ
d
P
d
r
=
−
G
m
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}
dove anche
m
{\displaystyle m}
r
{\displaystyle r}
d
d
r
(
1
ρ
d
P
d
r
)
=
2
G
m
r
3
−
G
r
2
d
m
d
r
=
−
2
ρ
r
d
P
d
r
−
4
π
G
ρ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}
dove l'equazione di continuità è stata usata per sostituire il gradiente di massa. Moltiplicando ambo i membri di
r
2
{\displaystyle r^{2}}
P
{\displaystyle P}
r
2
d
d
r
(
1
ρ
d
P
d
r
)
+
2
r
ρ
d
P
d
r
=
d
d
r
(
r
2
ρ
d
P
d
r
)
=
−
4
π
G
r
2
ρ
{\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }
Dividere ambo i membri per
r
2
{\displaystyle r^{2}}
P
=
K
ρ
c
1
+
1
n
θ
n
+
1
{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}
ρ
=
ρ
c
θ
n
{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}
1
r
2
d
d
r
(
r
2
K
ρ
c
1
n
(
n
+
1
)
d
θ
d
r
)
=
−
4
π
G
ρ
c
θ
n
{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}
Raccogliendo i costanti e sostituendo
r
=
α
ξ
{\displaystyle r=\alpha \xi }
α
2
=
(
n
+
1
)
K
ρ
c
1
n
−
1
/
4
π
G
,
{\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}
abbiamo l'equazione di Lane-Emden,
1
ξ
2
d
d
ξ
(
ξ
2
d
θ
d
ξ
)
+
θ
n
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
Si può cominciare in maniera equivalente con l'equazione di Poisson ,
∇
2
Φ
=
1
r
2
d
d
r
(
r
2
d
Φ
d
r
)
=
4
π
G
ρ
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }
Si può sostituire il gradiente del potenziale usando l'equilibrio idrostatico, per mezzo di:
d
Φ
d
r
=
−
1
ρ
d
P
d
r
{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}
che analogamente porta alla forma dimensionale dell'equazione di Lane–Emden.
Per un certo valore dell'indice politropico
n
{\displaystyle n}
θ
n
(
ξ
)
{\displaystyle \theta _{n}(\xi )}
θ
n
{\displaystyle \theta _{n}}
n
=
0
,
1
,
5
{\displaystyle n=0,1,5}
n
{\displaystyle n}
R
=
α
ξ
1
{\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}
dove
θ
n
(
ξ
1
)
=
0
{\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}
Per una certa soluzione
θ
n
{\displaystyle \theta _{n}}
ρ
=
ρ
c
θ
n
n
{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}}
La massa totale
M
{\displaystyle M}
ξ
1
{\displaystyle \xi _{1}}
La pressione può essere trovata usando l'equazione di stato politropica,
P
=
K
ρ
1
+
1
n
{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}
P
=
K
ρ
c
1
+
1
n
θ
n
n
+
1
{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}
Infine, se il gas è perfetto , l'equazione di stato è
P
=
k
B
ρ
T
/
μ
{\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }
k
B
{\displaystyle k_{B}}
costante di Boltzmann e
μ
{\displaystyle \mu }
massa molecolare media. Il profilo di temperatura è quindi dato da
T
=
K
μ
k
B
ρ
c
1
/
n
θ
n
{\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}
Come sopra indicato, l'equazione di Lane–Emden è integrabile solo per tre valori dell'indice politropico
n
{\displaystyle n}
Se
n
=
0
{\displaystyle n=0}
1
ξ
2
d
d
ξ
(
ξ
2
d
θ
d
ξ
)
+
1
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}
Riordinando e integrando si arriva a
ξ
2
d
θ
d
ξ
=
C
1
−
1
3
ξ
3
{\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}
Dividere ambo i membri per
ξ
2
{\displaystyle \xi ^{2}}
θ
(
ξ
)
=
C
0
−
C
1
ξ
−
1
6
ξ
2
{\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}
Le condizioni al contorno
θ
(
0
)
=
1
{\displaystyle \theta (0)=1}
θ
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle \theta '(0)=0}
C
0
=
1
{\displaystyle C_{0}=1}
C
1
=
0
{\displaystyle C_{1}=0}
θ
(
ξ
)
=
1
−
1
6
ξ
2
{\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}
Quando
n
=
1
{\displaystyle n=1}
d
2
θ
d
ξ
2
+
2
ξ
d
θ
d
ξ
+
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}
Si assume che la soluzione sia una serie di potenze :
θ
(
ξ
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
ξ
n
{\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}
Ciò porta a una relazione ricorsiva per i coefficienti dello sviluppo:
a
n
+
2
=
−
a
n
(
n
+
3
)
(
n
+
2
)
{\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}
Questa relazione può essere risolta, ottenendo la soluzione generale:
θ
(
ξ
)
=
a
0
sin
ξ
ξ
+
a
1
cos
ξ
ξ
{\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}
La condizione al contorno per una politropica fisica richiede che
θ
(
ξ
)
→
1
{\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}
ξ
→
0
{\displaystyle \xi \rightarrow 0}
a
0
=
1
,
a
1
=
0
{\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}
θ
(
ξ
)
=
sin
ξ
ξ
{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}
Si inizia dall'equazione di Lane–Emden:
1
ξ
2
d
d
ξ
(
ξ
2
d
θ
d
ξ
)
+
θ
5
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}
Riscrivendo per
d
θ
d
ξ
{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}
d
θ
d
ξ
=
1
2
(
1
+
ξ
2
3
)
3
/
2
2
ξ
3
=
ξ
3
3
[
1
+
ξ
2
3
]
3
/
2
{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}
Derivando rispetto a ξ porta a:
θ
5
=
ξ
2
[
1
+
ξ
2
3
]
3
/
2
+
3
ξ
2
9
[
1
+
ξ
2
3
]
5
/
2
=
9
9
[
1
+
ξ
2
3
]
5
/
2
{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}
Che semplificato diventa:
θ
5
=
1
[
1
+
ξ
2
3
]
5
/
2
{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}
Pertanto l'equazione di Lane–Emden ha la soluzione
θ
(
ξ
)
=
1
1
+
ξ
2
/
3
{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}
quando
n
=
5
{\displaystyle n=5}
^ Jonathan Homer Lane , On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment American Journal of Science , 2, vol. 50, n. 148, 1870, pp. 57–74, Bibcode :1870AmJS...50...57L , DOI :10.2475/ajs.s2-50.148.57 , ISSN 0002-9599 (WC ACNP . 
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3023f556837ad0716b7a623c8abe5b11457ff2bc)
![{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589b8f8223d6c51689eb98e8664802e6a536ccaf)
![{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2daf45ed62962aeeb451978c88930229d23d156)
