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La funzione di Cantor In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor . Essa è una distribuzione singolare , o continua singolare: non è né assolutamente continua né discreta .
Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor , riassunta nell'immagine sotto:
C
0
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle C_{0}=[0,1]}
C
1
=
[
0
,
1
/
3
]
⋃
[
2
/
3
,
1
]
{\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]}
C
2
=
[
0
,
1
/
9
]
⋃
[
2
/
9
,
1
/
3
]
⋃
[
2
/
3
,
7
/
9
]
⋃
[
8
/
9
,
1
]
{\displaystyle C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]}
C
3
=
[
0
,
1
/
27
]
⋃
[
2
/
27
,
1
/
9
]
⋃
[
2
/
9
,
7
/
27
]
⋃
[
8
/
27
,
1
/
3
]
{\displaystyle C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]}
⋃
[
2
/
3
,
19
/
27
]
⋃
[
20
/
27
,
7
/
9
]
⋃
[
8
/
9
,
25
/
27
]
⋃
[
26
/
27
,
1
]
{\displaystyle \bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]}
⋮
{\displaystyle \vdots }
abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni
n
{\displaystyle n}
distribuita uniformemente sul singolo insieme
C
n
{\displaystyle C_{n}}
1
/
2
n
{\displaystyle 1/2^{n}}
E
(
X
)
=
1
2
{\displaystyle E(X)={1 \over 2}}
La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale : se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"
var
(
X
)
=
E
(
var
(
X
∣
Y
)
)
+
var
(
E
(
X
∣
Y
)
)
{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))}
=
1
9
var
(
X
)
+
var
{
P
(
1
/
6
)
=
1
/
2
P
(
5
/
6
)
=
1
/
2
}
=
1
9
var
(
X
)
+
1
9
.
{\displaystyle ={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}P(1/6)=1/2\\P(5/6)=1/2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.}
Da cui otteniamo
var
(
X
)
=
1
8
{\displaystyle \operatorname {var} (X)={1 \over 8}}
![{\displaystyle C_{0}=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74582af582e1f60ff548ee41c59f5d38f7023032)
![{\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b95efeaafa4b0dc364e50d816817d9c77de02a)
![{\displaystyle C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178afca135b4eaba9b77092c930e197cc3955b1d)
![{\displaystyle C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2f8437e326b8c6ab423c1494e5cda93336165)
![{\displaystyle \bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b2b573ec6b79e8bfacd2d1d16408f480e3d389)
