Disequazione esponenziale

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui l'incognita si trova come esponente di una qualsiasi base numerica, purché strettamente positiva e diversa da 1: è una disequazione esponenziale ad esempio $a^{x}+6<x+2\;$, ma non $x^{5}+e^{2}<4\;$.

Per risolvere una disequazione esponenziale, bisogna cercare di ricondurla a una forma ridotta del tipo $a^{x}<b\;$ oppure $a^{x}>b\;$. In seguito si cerca di riportare $b\;$ in dipendenza da $a\;$, portandosi a una forma del tipo $a^{x}<a^{c}\;$. A questo punto la disequazione è detta disequazione in forma canonica ed risolta per $x<c\;$ se $a>1\;$, e per$x>c\;$ se $0<a<1\;$.

Per calcolare più facilmente le soluzioni di una disequazione esponenziale, ci si può affidare anche al grafico della funzione esponenziale qui a fianco.

La funzione esponenziale è quasi piatta (crescendo lentamente) per x negativo, e cresce velocemente per x positivo.

Per una risoluzione grafica della disequazione, è necessario mantenere da una parte del segno di disuguaglianza la funzione esponenziale, portando tutto il resto dall'altra parte del segno maggiore o minore. A questo punto si disegna sul grafico la funzione esponenziale e la funzione rappresentata da tutto ciò che sta al di là del segno della disequazione. Si verifica poi graficamente il campo di valori per cui la disequazione è soddisfatta.

Esempio: $2^{x}-x>0\;$.

Si porta la disequazione nella forma $2^{x}>x\;$. Si disegna sul grafico la funzione $f(x)=2^{x}\;$ (grafico sotto in rosso) e la retta $g(x)=x\;$ (bisettrice del 1° e 3° quadrante, in blu). Si verifica facilmente che, a parità di ascissa, la funzione $2^{x}\;$ sta sempre al di sopra della retta, quindi la disequazione è soddisfatta per ogni $x\in \mathbb {R} \;$ (in verde vi è la funzione $y=\log _{2}{x}$, non presente nella disequazione presa ad esempio).

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi Editori, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione trascendente
• Funzione esponenziale