Discussione:Teorema di Fubini

Riporto qui da Integrale multiplo una dimostrazione (in parte da rivedere) del teorema di Fubini nel caso di funzioni continue:

 

Siano α(x) e β(x) funzioni continue da [a,b] in R con α(x) < β(x) per ogni x e sia

$T=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\alpha (x)\leq y\leq \beta (x)\}.$

Sia poi f(x,y) una funzione continua da T in R. Vogliamo provare che

$\int _{T}f(x,y)\ dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy.$

Per prima cosa prolunghiamo f su un rettangolo [a,b]×[c,d] contenente T, ponendola uguale a 0 fuori da T. Siano poi

${\begin{aligned}P&=\{a_{1},\dots a_{k}\},\\Q&=\{\psi _{1},\dots \psi _{k}\}\end{aligned}}$

partizioni di [a,b] e [c,d] rispettivamente. Si osservi che

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy&=\sum _{i=1}^{k}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}dx\sum _{j=1}^{k}\int _{\psi _{j-1}}^{\psi _{j}}f(x,y)dy=\sum _{i,j=1}^{k}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}dx\int _{\psi _{j-1}}^{\psi _{j}}f(x,y)dy\\&\leq \sum _{i,j=1}^{k}M_{ij}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}dx\int _{\psi _{j-1}}^{\psi _{j}}dy=\sum _{i,j=1}^{k}M_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{i,j}\right),\end{aligned}}$

dove

${\begin{aligned}D_{ij}&=\left\{(x,y)\mid x_{i-1}\leq x\leq x_{i},\psi _{j-1}\leq y\leq \psi _{j}\right\},\\M_{ij}&=\max _{(x,y)\in D_{ij}}f(x,y)\end{aligned}}$

e meas (A) indica la misura di A.

Inoltre, posto,

$m_{ij}=\min _{(x,y)\in D_{ij}}f(x,y),$

con un procedimento simile si ottiene

$\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\geq \sum _{i,j=1}^{k}m_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{ij}\right)$

Di conseguenza:

$\sum _{i,j=1}^{k}m_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{ij}\right)\leq \int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\leq \sum _{i,j=1}^{k}M_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{ij}\right)$

e chiaramente si ha anche

$\sum _{i,j=1}^{k}m_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{ij}\right)\leq \int _{D}f(x,y)dxdy\leq \sum _{i,j=1}^{k}M_{ij}\,{\text{meas}}\left(D_{ij}\right).$

Usando il fatto che f è uniformemente continua su T (dato che T è compatto), si può provare che il maggiorante e il minorante tendono allo stesso limite al tendere a 0 dell'ampiezza delle partizioni. Di conseguenza,

$\int _{T}f(x,y)\ dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy.$

--Dr Zimbu (msg) 19:46, 15 dic 2009 (CET)

Fubini o Fubini e Tonelli?

Ho tolto il pseudo esempio sul prodotto delle misure e aggiunto Tonelli. Adesso è come la pagina in inglese, con in meno l'esempio di integrale non assolutamente convergente (servono tutti quei calcoli?) e altre due cose che mi sembrano solo ripetizioni di Tonelli. Ah, io le dimostrazioni non le metterei. Invece, lasciamo o spostiamo a Teorema Di Fubini e Tonelli?--Sandro (bt) 21:43, 16 dic 2009 (CET)

Riscrittura

Apprezzo sicuramente il formalismo, ma imho la voce era piu' chiara prima della riscrittura. Adesso la voce dice fondamentalmente le stesse cose, con il massimo livello di formalismo (e a una prima occhiata non e' che la voce prima fosse scorretta o imprecisa). Al momento credo che sia difficilmente comprensibile da chiunque non abbia una buona infarinatura di teoria della misura (e cioe' chiunque non sia un professore di analisi o abbia seguito un corso di analisi 2 per matematici o fisici negli ultimi 10 anni, volendola fare larga), mentre prima poteva essere compresa (perlomeno a grandi linee) da un pubblico molto piu' vasto.--Sandro_bt (scrivimi) 23:08, 4 nov 2011 (CET)

Beh, quello che ho pensato di fare era mettere l'enunciato nella sua forma più completa, e poi nel paragrafo "conseguenze" scrivere in forma più semplice quello per cui, di fatto, il teorema è famoso e utilizzato. Più che altro ho pensato che se non metto qua l'enunciato preciso, non lo posso mettere da nessun'altra parte. Secondo me l'ideale sarebbe ampliare la parte delle "conseguenze" del teormea in modo da fare un paragrafo accessibile ad un più vasto pubblico, che come giustamente dici sarebbe una buona cosa: avere insomma sia la scrittura rigorosa e sia la parte trucchetto per quando integri in più variabili. ^musaz † 12:30, 5 nov 2011 (CET)