Discussione:Funzione digamma

Trovo qualche sottile imprecisione, dato che in genere si parla di numero armonici $H_{n}$ solo quando l'indice è un numero naturale, mentre la funzione Digamma risulta meromorfa su tutto il piano complesso, con poli semplici di residuo $-1$ in corrispondenza dello zero e degli interi negativi (poli per la funzione Gamma):

Dal prodotto di Hadamard $\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\,e^{-\gamma z}\prod _{k=1}^{+\infty }\left(\left(1+{\frac {z}{l}}\right)^{-1}\,e^{z/k}\right)$ si ha

$\Psi (z)={\frac {d}{dz}}\,\log \Gamma (z)$$={\frac {d}{dz}}\left(-\log z-\gamma z+\sum _{k=1}^{+\infty }\left({\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right)\right)$$=-\gamma -{\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+z}}\right)$

Da cui le importanti identità

$\Psi (b)-\Psi (a)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{n+a}}-{\frac {1}{n+b}}\right)$

$\Psi '(a)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{(n+a)^{2}}}$

Elianto84

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