Discussione:Funzione differenziabile

Tolto pezzo che si integrava male

Ho tolto questo:

La semplice esistenza delle derivate parziali in x₀, che è una condizione più leggera della differenziabilità, non implica la continuità in x₀ . Ad esempio la funzione reale di due variabili reali

$F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&y\leq x^{2}\\0&x^{2}<y<2x^{2}\\1&2x^{2}\geq y\end{matrix}}\right.$

ammette derivate parziali in (0,0), ma essa non è continua in (0,0).

dalla sottosezione "differenziabilità e continuità" perché anticipa ciò che sta per essere detto in modo più sistematico nella sottosezione successiva e presenta un esempio con la stesse caratteristiche di quello già presentato dopo. Il pezzo potrebbe eventualmente essere copiato nella voce derivata parziale.--Pokipsy76 09:03, 6 ago 2006 (CEST)

Approccio assoluto

Esprimo le mie perplessità sulla sezione "approccio assoluto". Innanzitutto, per "calcolo differenziale assoluto" si intende il calcolo tensoriale, argomento più difficile e diverso dall'usuale calcolo a più variabili, e che quindi non dovrebbe avere posto qui. La sezione inizia con un approccio che vuole spiegare perché si arriva a questa definizione di funzione differenziabile: la spiegazione non è molto rigorosa, e credo che un approccio soft alla defizione possa essere fatto diversamente, e non vedo la necessità di inquadrarlo come "assoluto". Ad un certo momento compaiono il gradiente, il differenziale e le derivate direzionali: questo modo di introdurre dei concetti in mezzo ad un testo non è adatto a questa enciclopedia. Ciascuno di questi oggetti deve essere inquadrato in modo chiaro, a partire da convenzioni matematiche comunemente usate, e non a metà di una sezione poco rigorosa. Si finisce quindi con i simboli di Christoffel (che hanno già una voce a sé) ed altre cose che con funzione differenziabile non hanno molto a che vedere. Ylebru dimmela 09:08, 18 set 2007 (CEST)

Sì, sono d'accordo anche io che quella parte sia da rivedere. Come ti dicevo altrove, l'idea è quella di "fare senza componenti e senza basi". Ammesso che questo sia un nobile scopo, non c'è bisogno - come dici tu - di scrivere quella parte iniziale così informale e intuitiva. Credo che il lavoro andrebbe fatto così: aggiungere un po' di roba alle voci sul differenziale e la derivata direzionale/parziale, poi riscrivere la parte iniziale della voce facendo riferimento solo a quelle voci già scritte, e infine spostare il tutto da qualche altra parte, probabilmente - come dici tu - nella voce "calcolo tensoriale", per fare vedere come si fa "senza componenti" (aggiungendo però una parte sulla "immersione", perché fino ad ora non ho chiarito bene la distinzione fra "assoluto" e "intriseco", visto che in uno spazio euclideo la faccenda è già di per sé "intrinseca" coincidendo esso con il suo fibrato tangente). Se mi lasci un po' di tempo mi impegno a metterci mano. Nel frattempo sto "preparando il terreno" proprio in vista di tutto ciò, ovvero per dare una definizione di tensore "senza componenti". Nel parlo "di là".--..|DP|.. 09:23, 18 set 2007 (CEST)

Alla fine ho deciso di trasferire tutto in Wikibooks (vedi la sezione "Altri progetti").--..|DP|.. 05:39, 3 ott 2007 (CEST)

Funzione "approssimabile con..."

In un paio di occasioni diciamo che la derivabilità o la differenziabilità equivalgono a dire che la funzione è "approssimabile con" una retta o con una funzione lineare vicino ad un punto. Secondo me questa è una terminologia infelice: l'espressione "approssimabile con..." è fuorviante ed ha tante possibili traduzioni, per cui andrebbe evitata e sostituita con discorsi un po' più sottili. Ad esempio io potrei approssimare una funzione continua in un punto x con qualsiasi retta passante per quel punto e non tangente, la distanza tra la funzione e la retta su un intorno di x tende comunque a zero al tendere a zero del raggio dell'intorno. Se la retta fosse stata tangente la velocità di convergenza a zero è di ordine quadratico rispetto al raggio dell'intorno, ma questo fatto (non banale) non mi sembra che sia ben rappresentato dall'espressione "f è approssimabile con la retta tangente". Spero die ssermi spiegato...--Pokipsy76 11:42, 22 set 2007 (CEST)

Infatti. Secondo me è impossibile trattare il differenziale senza parlare di "stima del resto". E non a caso i miei primi interventi in questa Walledilacrime :-) erano tutti in zona "successioni di funzioni", "stima asintotica", "serie asintotica", "criteri di confronto" e, appunto, "stima del resto". Sono diversi giorni che rifletto su come fare un l'"attacco" di un articolo generalissimo sul differenziale (che tratti tutti i casi fino a quello di campi vettoriali su uno spazio vettoriale) e alla fine mi convinco sempre di più che l'unico approccio sensato sia quello "alla Frechet" (ma "fatto bene", cioè parlando fin da subito di ordini di infinitesimo). D'altra parte già il grande Lagrange aveva capito che per evitare gli enormi scogli concettuali posti dal calcolo infinitesimale (le critiche di Berkeley, eccetera, al di là del fatto che "funzionasse") si dovevano usare gli sviluppi in serie (e questo nonostante gli sviluppi in serie non facessero parte della tradizione "continentale"), tant'è che nel suo trattato di analisi sviluppa una funzione nei primi ordini di una serie di potenze in un intorno di x₀ e poi dice - per definizione - che la derivata in x₀ è il coefficiente a₁. Tuttavia fallisce anche lui, perché manca la "stima del resto": bisogna dire che il "resto" è un infinitesimo di ordine superiore, ma questo non si può fare senza il concetto di limite. --..|DP|.. 12:52, 22 set 2007 (CEST)

Io un modo intuitivo di porre la questione l'avevo trovato: dicendo che zoomando la funzione intorno al punto questa diventa sempre più simile (nel senso della distanza punto per punto) ad una trasformazione affine, poi però per mettere in relazione questo con la definizione formale c'è voluto qualche passaggio...--Pokipsy76 17:30, 22 set 2007 (CEST)

Esempio di funzione non differenziabile ma derivabile

Ho cambiato il valore il valore in (0,0) dell'esempio di funzione derivabile ma non continua e quindi non differenziabile perché facendo il limite per (0,0) di f(x,y) in coordinate polari risultava 0 che era il valore precedente in (0,0) di f e dunque la funzione risultava continua contraddicendo quanto detto prima. 17 gen 2012

Ho rimesso il valore 0 della f(0,0) perché se una funzione è derivabile o differenziabile deve essere continua ma il motivo per cui non è differenziabile scritto non é corretto "ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0)."

Il motivo per cui non è differenziabile è invece esattamente quello (a prescindere dal valore assegnato in (0,0) !!!). Infatti se $(({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}})\land \neg {\mathcal {B}})$ allora $\neg {\mathcal {A}}$ , dove ovviamente ${\mathcal {A}}$ è la differenziabilità di f e ${\mathcal {B}}$ la continuità. Peraltro basta prendere il limite di $f(x,x^{\frac {1}{2}})$ per vedere che f non è continua.

un esempio

la funzione f(x)=0 in 0 e x^2*sin(1/x^2) e' ovunque differenziabile ma non da derivata continua in 0. f(x)+f(y) e' un esempio di come l' appartenenza a C1 sia sufficiente ma non necessaria per la differenziabilita in due variabili pietro