Diagramma commutativo

In matematica, un diagramma commutativo è un diagramma comprendente vari oggetti e morfismi tra essi tale che, per ogni coppia di oggetti, ogni percorso che li collega produce la stessa applicazione finale (in termini di composizione di funzioni). I diagrammi commutativi giocano in teoria delle categorie il ruolo che hanno le equazioni in algebra.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Prendendo la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali sintetizzata nell'immagine

si ha per definizione di $V\otimes W$ che $v\cdot w=\varphi (v\otimes w)$ , cioè componendo l'applicazione $\varphi$ dopo $\otimes$ otteniamo esattamente $\cdot$ : per questo motivo tale diagramma è commutativo.

Un esempio che coinvolge più di tre oggetti, sempre riguardante il prodotto tensoriale, è il seguente:

Questo diagramma è commutativo poiché $s\circ i=\rho$ e $f\circ \pi =s$ (da cui abbiamo anche $f\circ \pi \circ i=\rho$ ).

Ovviamente tale proprietà deve valere per ogni possibile "percorso" contenuto nel diagramma: se per esempio ogni funzione nel diagramma sopra ammettesse un'inversa, allora affinché tale diagramma fosse stato commutativo sarebbe dovuto valere anche $\pi ^{-1}=s^{-1}\circ f$ , $\rho ^{-1}\circ f=i^{-1}\circ \pi ^{-1}$ e così via.