Cuore normale
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Nella teoria dei gruppi il cuore normale (talvolta chiamato nocciolo) di un sottogruppo , indicato generalmente con è il nucleo dell'azione di gruppi con dove definita da .[1]
Proprietà[modifica | modifica wikitesto]
Si osserva che lo stabilizzatore di questa applicazione di gruppi è . Da questo deriva che .
Alcuni notevoli proprietà del cuore normale sono le seguenti:
- cioè il cuore normale di un sottogruppo di è sempre un sottogruppo normale di . Si vede immediatamente essendo per ogni omomorfismo.
- ed è il più grande sottogruppo normale a contenuto in : ovvero se e implica . Infatti banalmente . Inoltre sia con . Dato vale essendo normale questo è equivalente a per ogni quindi .
- Posto l'indice di in , cioè e vale la relazione . Infatti per il primo teorema di isomorfismo si ha che da cui per il teorema di Lagrange ma la cardinalità di è esattamente uguale al numero di classi laterali di , cioè , e quindi .
Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]
Un importante risultato che si può dedurre dalle proprietà elencate è il seguente:
Sia un gruppo finito e sia il più piccolo numero primo che divide l'ordine di . Allora se esiste tale che si ha .
Si ha infatti ed essendo vale . Ma allora divide e coprimi tra loro (per minimalità di primo come divisore di ), quindi necessariamente ovvero .
Note[modifica | modifica wikitesto]
- ^ Derek J. S. Robinson, An introduction to Abstract Algebra.