Costante di von Klitzing

La costante di von Klitzing, indicata con $R_{K}$ è una costante fisica definita come il rapporto tra la costante di Planck e il quadrato della carica elettrica fondamentale e ha le dimensioni di una resistenza:

$R_{K}={\frac {h}{e^{2}}}$.

Come nel caso della velocità della luce il valore della costante di von Klitzing è fissato convenzionalmente: a partire dal 1º gennaio 1990, il suo valore è per definizione pari a 25812,807 ohm. Tale valore è stato in precedenza misurato con grande precisione per mezzo di misure dell'effetto Hall quantistico in eterostrutture. Tali misure sono state ripetute più volte in diversi laboratori metrologici e i risultati sono stati successivamente confrontati al fine di determinare l'entità massima dell'errore sperimentale. Poiché tali misure costituiscono fino a ora le più precise misure di resistenza disponibili, il valore della costante di von Klitzing è stato assunto come standard fondamentale di resistenza. Occorre però fare attenzione in quanto essa non definisce operativamente l'ohm (già definito a partire dall'ampere e dalle altre grandezze fondamentali del sistema internazionale) bensì costituisce un riferimento per costruire degli opportuni standard di resistenza.

Si può mostrare che la Costante di Klitzing rappresenta una resistenza elettrica a partire dall'espressione

$h\nu =mc^{2}$

dove h è la costante di Planck (che vale 6,6260755×10⁻³⁴Js), m è la massa dell'elettrone (che vale 9,1093897×10⁻³¹ kg) e c è la velocità della luce (che vale 8,987551787×10¹⁶ m/s) per cui

$\nu =1,235589768\cdot 10^{2}0Hz$

L'elettrone ha una carica elettrica e = 1,60217733×10⁻¹⁹ C che alla distanza R del raggio elettromagnetico dell'elettrone (che vale 2,81794092×10⁻¹⁵ m) determina il potenziale elettrico

$V={\frac {e}{4\pi \varepsilon R}}=5,1099905\cdot 10^{5}V$

Il prodotto della frequenza ν dell'elettrone per 2πR vale la velocità 2,1876907×10⁶ m ovvero αc con α costante di struttura fine dell'elettrone (che è uguale a 1/137,0359895).

Il prodotto della carica elettrica e la frequenza vale la corrente elettrica

$i=e\nu =19,79633915A$

il rapporto

${\frac {V}{i}}=2,581280586\cdot 10^{4}\Omega$

con i valori riportati su è

${\frac {h}{e^{2}}}=2,581280589\cdot 10^{4}{\frac {Js}{C^{2}}}$

da cui l'identità (quantitativa) tra ${\frac {V}{i}}$ e ${\frac {h}{e^{2}}}$.

Eguagliando la ${\frac {V}{i}}$ e la ${\frac {h}{e^{2}}}$, tenuto conto che V/i = 1/2εαc e, come mostrato in precedenza, αc = 2πRν si ha:

${\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon R}}=h\nu$

che consente di ottenere l'identità "qualitativa" tra ${\frac {V}{i}}$ e la ${\frac {h}{e^{2}}}$ perché l'energia emessa o assorbita dall'elettrone (hν) è pari all'energia del suo potenziale elettrico.

Dall'ultima equazione si può ottenere che la dimensione della Costante di Josephson è una frequenza/volt.

La Costante di Josephson è data da

${\frac {2e}{h}}$

e vale 0,483597668×10¹⁵ C/Js. Il rapporto 2ν/V vale 0,483597668 GHz/V

Eguagliando le ultime due equazioni si ottiene

${\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon R}}=h\nu .$