Coefficiente di determinazione

In statistica, il coefficiente di determinazione, più comunemente R², è un indice che misura il legame tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Intuitivamente, esso è legato alla frazione della varianza non spiegata dal modello.

Definizione

La definizione più generale è la seguente:

$R^{2}=1-{\frac {RSS}{TSS}},$

con $RSS$ devianza residua (Residual Sum of Squares):

$RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}$

$TSS$ devianza totale (Total Sum of Squares):

$TSS=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$

dove:

${\hat {y}}_{i}$ sono i dati stimati dal modello,

$y_{i}$ sono i dati osservati,

${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$ è la media dei dati osservati.

Adjusted R²

L'adjusted $R^{2}$ (o ${\bar {R^{2}}}$) (meglio conosciuto in Italiano come $R^{2}$ corretto o aggiustato) è una variante dell' $R^{2}$ semplice.

Mentre $R^{2}$ semplice è utilizzato per l'analisi di regressione lineare semplice come principale indice di bontà della curva di regressione, $R^{2}$ corretto viene utilizzato per l'analisi di regressione lineare multipla. Esso serve a misurare la frazione di devianza spiegata, cioè la proporzione di variabilità di $Y$ "spiegata" dalla variabile esplicativa $X$. All'aumentare del numero di variabili esplicative (o predittori) $X$, aumenta anche il valore di $R^{2}$, per cui spesso è utilizzato al suo posto ${\bar {R^{2}}}$, che serve a misurare la frazione di varianza spiegata.

Il coefficiente ${\bar {R}}^{2}$ può essere negativo e vale sempre la disuguaglianza ${\bar {R}}^{2}\leq R^{2}$.

${\bar {R}}^{2}=1-{n-1 \over n-k-1}\cdot {\frac {RSS}{TSS}},$

dove:

• $n$ è il numero delle osservazioni;
• $k$ è il numero dei regressori.

R² e Correlazione lineare

Se si ha a disposizione la correlazione tra due variabili discrete, $\rho _{X,Y}$, (o indice di correlazione di Pearson) si può determinare il coefficiente di determinazione, elevando semplicemente al quadrato la correlazione. Viceversa, se si ha a disposizione $R^{2}$, si può determinare la correlazione, facendo la radice quadrata.

${\displaystyle R^{2}=\rho _{X,Y}^{2}\Leftrightarrow \rho _{X,Y}={\sqrt {R^{2}}}}$

dove:

• $\displaystyle \rho _{X,Y}$ è la correlazione tra le variabili $X$ e $Y$, ottenibile dividendo la covarianza tra le due variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi $\displaystyle \rho _{X,Y}=\left({\frac {\sigma _{X,Y}}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}\right)$.

La formula empirica di questo modello è il seguente:

$R^{2}={\frac {ESS}{TSS}},$

dove $ESS=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}$ è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares). Questa definizione è possibile poiché, per regressioni lineari semplici, la devianza può essere scomposta come $ESS=TSS-RSS$.

R² varia tra $-\infty$ e 1: quando è 0 il modello utilizzato offre una spiegazione dei dati non migliore del valore medio ($RSS=TSS$); quando è 1 il modello spiega perfettamente i dati. Un modello peggiore della media ($RSS>TSS$) ha coefficiente $R^{2}$ minore di 0.

Interpretazione

Se $R^{2}$ o ${\bar {R^{2}}}$ sono prossimi a 1, significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione; mentre se è uguale a 0, significa che non lo fanno.

I coefficienti $R^{2}$ e ${\bar {R^{2}}}$ non dicono se:

1. una variabile sia statisticamente significativa;
2. i regressori sono causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente;
3. c'è una distorsione da variabile omessa;
4. è stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato.

Bibliografia

• James Stock, Mark Watson, Introduzione all'econometria, Milano, Pearson Education, 2005, p. 121, ISBN 978-88-7192-267-6. 9788871922676
• Draper, N.R. and Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-17082-8
• Everitt, B.S. (2002). Cambridge Dictionary of Statistics (2nd Edition). CUP. ISBN 0-521-81099-X
• Nagelkerke, Nico J.D. (1992) Maximum Likelihood Estimation of Functional Relationships, Pays-Bas, Lecture Notes in Statistics, Volume 69, 110p ISBN 0-387-97721-X
• Luigi Fabbris, Statistica multivariata (analisi esplorativa dei dati). 1997, McGrawHill. ISBN 88-386-0765-6

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Collegamenti esterni

• (EN) Felicity Boyd Enders, coefficient of determination, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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