Circuitazione

In matematica, la circuitazione o circolazione di un campo vettoriale $\mathbf {v} (P)$ nel punto $P$ di una curva $\ell$ è il prodotto scalare:

$\langle \mathbf {v} ,\mathrm {d} \ell \rangle =|\mathbf {v} |\cdot |\mathrm {d} \ell |\cos \alpha$

dove $\mathrm {d} \ell$ è lo spostamento infinitesimo di $P$ lungo $\ell$ e $\alpha$ l'angolo che il campo forma con $\ell$ . Questa definizione prende anche il nome di circuitazione elementare.

Per circuitazione o circolazione relativa alla curva $\ell$ si intende l'integrale curvilineo di $\mathbf {v}$ esteso ad $\ell$ :

\int _{\ell }\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \ell

Cambiando il verso di percorrenza di $\ell$ , la circuitazione cambia di segno.

Circuitazione lungo percorsi chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Di particolare interesse è la circuitazione lungo percorsi chiusi, utilizzata specialmente in fisica. Ad esempio, un campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione lungo ogni linea chiusa è nulla.

Per il teorema del rotore, un caso particolare del teorema di Stokes, la circuitazione di $\mathbf {v}$ lungo una linea chiusa $\Gamma$ è data da:

\oint _{\Gamma }\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\iint _{S}{\big (}\nabla \times \mathbf {v} {\big )}\cdot \mathrm {d} S

dove il termine a destra è l'integrale di superficie del rotore $\nabla \times \mathbf {v}$ di $\mathbf {v}$ esteso alla superficie $S$ delimitata da $\Gamma$ .

Il campo elettrostatico è un importante esempio di campo di forze conservativo generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie (nel tempo e nella posizione). Se invece abbiamo un campo elettromotore, cioè con un passaggio di corrente stazionaria, la circuitazione è pari alla forza elettromotrice indotta.