Bias di Chebyshev

Grafico della funzione $\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)$ per $n\leq 30000$

Nella teoria dei numeri, il bias di Chebyshev è il fenomeno per cui i numeri primi inferiori a un dato numero che sono della forma $4k+3$ sono per la maggior parte delle volte più numerosi di quelli della forma $4k+1$, nonostante il loro limite sia lo stesso. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta da Čebyšëv nel 1853.

Descrizione

Sia $\pi (x;n,m)$ il numero di primi fino a $x$ della forma $nk+m$. Per il teorema dei numeri primi (esteso alle progressioni aritmetiche),

$\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}},$

cioè mediamente metà dei numeri primi sono della forma $4k+1$, e metà della forma $4k+3$. Sarebbe dunque ragionevole supporre che, al variare di $x$, una forma prevalga sull'altra nel 50% circa dei casi.

Le prove numeriche, tuttavia, non supportano tale ipotesi: infatti, $\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$ si verifica molto più frequentemente. Ad esempio, questa disuguaglianza vale per tutti i primi minori di 26833 eccetto 5, 17, 41 e 461, nel qual caso si ha $\pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)$. Il primo numero primo tale che $\pi (x;4,3)<\pi (x;4,1)$ è 26861.

In generale, con $a,b$ numeri interi tali che $0<a,b<n$, se $MCD(a,n)=MCD(b,n)=1$ e $a$ è un residuo quadratico mod $n$, e $b$ è un non-residuo quadratico mod $n$, allora $\pi (x;n,b)=\pi (x;n,a)$ si verifica con maggiore frequenza; tuttavia la dimostrazione è possibile solo assumendo forme forti dell'ipotesi di Riemann.

La congettura più forte di Knapowski e Turán, secondo cui sarebbe unitaria la densità dei numeri per cui vale $\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$ si è rivelata falsa. In sostanza questa congettura affermerebbe che tale disuguaglianza vale per quasi tutti gli $x$. Tuttavia, anche se la congettura non risulta vera, è noto che la densità logaritmica dei valori che la verificano è di circa 0,9959....

Bibliografia

• PL Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 e 4 n + 3, Boll. Classe Phys. Accad. Imp. Sci. San Pietroburgo , 11 (1853), 208.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Bias di Chebyshev, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sequenza A007350, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. (where prime race 4n+1 versus 4n+3 changes leader)
• (EN) Sequenza A007352, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. (where prime race 3n+1 versus 3n+2 changes leader)