Algebra di divisione

In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

Definizione

Sia $D$ un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento $a$ ed ogni altro elemento non-nullo b di $D$ esiste esattamente un elemento $x$ di $D$ tale che $a=bx$, ed esattamente un elemento $y$ di $D$ tale che $a=yb$, allora $D$ è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni $a$ dell'algebra esiste un $x$ tale che $ax=xa=1$, ove $1$ è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Esempi

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali $\mathbb {R}$.

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi $\mathbb {C}$. Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a $\mathbb {C}$.

I quaternioni $\mathbb {H}$ sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlate

• Divisione (matematica)
• Anello di divisione

Collegamenti esterni

• algebra di divisione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebra di divisione, su MathWorld, Wolfram Research.