In teoria delle probabilità la distribuzione paretiana (o distribuzione di Pareto, così chiamata in onore di Vilfredo Pareto) è una distribuzione di probabilità continua, utilizzata in particolar modo per descrivere la distribuzione dei redditi.
La funzione di densità di probabilità associata alla distribuzione paretiana è
La distribuzione paretiana è caratterizzata da due parametri: uno di posizione positivo, che è il valore minimo che può assumere , e un parametro di forma , anch'esso positivo, che viene spesso indicato come "indice coda".
La variabile casuale paretiana è spesso utilizzata per modellizzare la distribuzione del reddito; in tal caso, viene interpretato come reddito minimo.
Integrando la funzione densità tra e si ottiene la funzione di distribuzione:
I suoi principali parametri sono:
- Momenti ordinari
-
- Da cui si ottiene:
- Da cui si ricava:
- In generale un momento di ordine è definito come:
dove è una funzione gamma incompleta.
La funzione generatrice di momenti è definita solo per valori non positivi di .
- Varianza
- Da cui ricaviamo:
- Si noti che per la varianza non esiste.
Mediana
- Simmetria
- per
- Curtosi
- per
La variabile casuale paretiana ha elasticità costante (negativa):
- ε(x) = df / f / dx / x = -(α+1)
che può essere interpretato nel senso che, qualunque sia il reddito x0
- se
- per il reddito x0 abbiamo y0 persone che lo guadagnano
- allora
- per il reddito x0+1% ci saranno y0-(α+1)% persone