Lagrangiana

La Lagrangiana di un sistema fisico è una funzione scalare energia che ne riassume la dinamica. Per i sistemi meccanici è la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale in ogni punto del percorso seguito durante il moto. In accordo con il principio di minima azione, un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza l'azione, ovvero l'integrale della Lagrangiana rispetto al tempo. A partire da ciò vengono scritte le equazioni del moto di Eulero-Lagrange.

Nel descrivere sistemi fisici, l'invarianza della Lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di quantità conservate durante il moto, ovvero di costanti del moto, in accordo con il teorema di Noether. Lo studio della Lagrangiana appartiene alla meccanica razionale, e in particolare nella meccanica lagrangiana, ma viene compiuto in moltissimi campi della fisica moderna: dalla meccanica quantistica alla meccanica relativistica.

Meccanica

La Lagrangiana ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ di un sistema meccanico con $n$ gradi di libertà è definita come la differenza tra l'energia cinetica $T$ e l'energia potenziale totale $U$:

${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)$

dove $\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{n}$ denota le coordinate generalizzate, ${\dot {\mathbf {q} }}$ le rispettive velocità e $t\in \mathbb {R}$ è il tempo. Nei sistemi conservativi, dove cioè l'energia potenziale $U$ non dipende dal tempo e l'energia si conserva, la Lagrangiana risulta a sua volta indipendente dalla variabile temporale. Infatti, considerando un punto materiale di massa $m$, ha l'espressione:

${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )=T({\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}m({\dot {\mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )$

Se la Lagrangiana è nota, allora l'equazione del moto del sistema può essere scritta nella forma di equazioni di Eulero-Lagrange. La Lagrangiana di un sistema può non essere unica. Infatti, due Lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la derivata totale rispetto al tempo di una qualche funzione $f(\mathbf {q} ,t)$, tuttavia la corrispondente equazione del moto sarà la stessa.

Talvolta, la Lagrangiana viene espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima, ed è definita in generale come una funzione ${\mathcal {L}}:TM\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sul fibrato tangente $TM$ ad una varietà differenziabile, ovvero la varietà delle configurazioni, in un suo punto.

Equazioni del moto

Le equazioni del moto sono derivabili dalla Lagrangiana mediante le equazioni di Eulero: le equazioni di Eulero per la Lagrangiana si chiamano equazioni di Lagrange. Per il principio di minima azione, le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le traiettorie geodetiche del sistema, sono tali da rendere stazionario (a variazione nulla) l'integrale d'azione calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.

Per il teorema di Noether, inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo, allora la corrispondente Lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la Lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata $q_{i}$, detta in tal caso coordinata ciclica, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange si ha:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0$

e quindi:

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

pertanto, il momento coniugato è una costante del moto o quantità conservata.

In particolare, se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo l'Hamiltoniana ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto. Nello specifico tale quantità conservata ha la forma:

${\mathcal {H}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}$

ovvero l'Hamiltoniana è la trasformata di Legendre della Lagrangiana. Se la Lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale, ${\mathcal {H}}$ risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema. Se inoltre la relazione $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$ è invertibile, le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Densità lagrangiana

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'elettrodinamica e la teoria quantistica dei campi, si definisce la densità lagrangiana $\rho _{\mathcal {L}}$ in modo tale che:

${\mathcal {L}}=\int _{\mathbf {x} \in D}{\rho _{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ',t,\mathbf {x} )\ \mathrm {d} \mathbf {x} }$

dove $\mathbf {q} '=(\partial q_{i}/\partial x_{j})$, $\mathbf {\dot {q}} =(\partial q_{1}/\partial t,\dots ,\partial q_{n}/\partial t)$ e $D\subset \mathbb {R} ^{k}$.

Ad esempio, in relatività speciale la densità lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno scalare di Lorentz locale, e l'azione viene definita attraverso l'integrale:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t$

Esempio

Si supponga di avere in uno spazio tridimensionale la Lagrangiana:

${\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-U(\mathbf {x} )$

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata. Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano. Scrivendo la forza conservativa in termini di energia potenziale:

$\mathbf {F} =-\nabla U$

l'equazione risultante è infatti:

$\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {x} }}$

Supponendo quindi di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando coordinate sferiche $(r,\theta ,\phi )$, la forma della Lagrangiana è:

${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2}\right)-U(r,\theta ,\phi )$

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana rispetto a quella newtoniana consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari, che sono per lo più indeterminate. A questo fine è sufficiente sostituire nella Lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa $r$ da un centro assegnato, ovvero un pendolo sferico, è sufficiente porre $r={\text{costante}}$ nella Lagrangiana in coordinate sferiche e ricavarne le equazioni di Eulero-Lagrange per le sole funzioni incognite $\theta (t)$ e $\phi (t)$. In questo modo si ottengono immediatamente le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio $r$, come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton.

Bibliografia

• Lev D. Landau, Evgenij M. Lifšic, Fisica teorica, vol. 1, 3ª ed., Roma, Editori Riuniti, 1994 [1976], ISBN 88-359-3473-7. URL consultato il 9 novembre 2012.
• Antonio Fasano, Stefano Marmi, Meccanica analitica, Torino, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5681-4.
• Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilita http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0. Una "trattazione" esaustiva di 350 pagine dell'argomento.
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique (1788) parte 2, sezione 4, Mallet-Bachelier, Parigi (1853-1855).
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange v. 11-12 Gauthier-Villars, Parigi (1867-1892).
• (EN) A. G. Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (1912) B. G. Teubner, Leipzig.
• (EN) E. T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, (1917) Cambridge University Press.
• (EN) A. Ziwet e P. Field Introduction to analytical mechanics (1921) p. 263 MacMillan, New York.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Calcolo delle variazioni
• Equazione del moto
• Equazioni di Eulero-Lagrange
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Sistema dinamico
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) I.V. Volovich, Lagrangian, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• (EN) David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
• (EN) David Morin - The Lagrangian Method (PDF), su people.fas.harvard.edu.