Metodo dei momenti amperometrici

Il metodo dei momenti amperometrici è una tecnica utilizzata per il dimensionamento della sezione dei conduttori di una linea elettrica in funzione della caduta di tensione. Questa tecnica sfrutta il momento amperometrico ${\bar {M}}=l{\bar {I}}$ definito dal prodotto tra la distanza $l$ tra la sorgente e il carico, e la corrente ${\bar {I}}$ assorbita dal carico stesso; scomposta la grandezza nella sua componente resistiva e induttiva, si ottengono allora i momenti amperometrici $M_{r}=lI\cos \phi$ e $M_{l}=lI\sin \phi$

Formulazione[modifica | modifica wikitesto]

Il dimensionamento delle linee elettriche in funzione dei momenti amperometrici è definito a partire dall'espressione della caduta di tensione industriale:

\Delta {E}=lI(r\cos \phi +x\sin \phi )

dove $\Delta {E}$ è la differenza tra i valori efficaci delle tensioni di fase di partenza e arrivo, $I$ è il modulo della corrente che attraversa la linea, $l$ è la distanza tra la sorgente e il carico, $\cos \phi$ è il fattore di potenza del carico, $r$ è la resistenza lineare della linea e $x$ la reattanza lineare della linea. Considerato che la resistenza totale della linea è $R=rl$ e che per la seconda legge di Ohm $R={{\rho {l}} \over {S}}$ , dove $\rho$ è la resistività elettrica e $S$ la sezione del conduttore, allora riscrivendo l'espressione in funzione della sezione si ottiene:

S={{\rho lI\cos \phi } \over {\Delta {E}-xlI\sin \phi }}

Introdotti allora i momenti amperometrici $M_{r}=lI\cos \phi$ e $M_{l}=lI\sin \phi$ allora l'espressione può essere riformulata come:

S={{\rho M_{r}} \over {\Delta {E}-xM_{l}}}

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Line a sbalzo[modifica | modifica wikitesto]

Considerata una linea costituita da $N$ carichi, ognuno con fattore di potenza $\cos \phi _{i}$ , a distanza $l_{i}$ dalla sorgente e attraversato da una corrente di intensità $I_{i}$ allora definiti i momenti amperometrici totali

M_{rtot}=\sum _{i=1}^{N}l_{i}I_{i}\cos \phi _{i}

e

M_{ltot}=\sum _{i=1}^{N}l_{i}I_{i}\sin \phi _{i}

si dimensionano una linea di sezione:

S={{\rho M_{rtot}} \over {\Delta {E}-xM_{ltot}}}

Linea in continua a sbalzo[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una linea bifilare che alimenti k carichi di potenza nominale nota e posti a distanza note dall'estremità in cui è presente il generatore che alimenti la linea a tensione $U_{A}$ .

Si applica il teorema di sostituzione ai carichi, sostituendo al loro posto generatori ideali di corrente; nella sezione h si ha:

$R_{Ah}=\sum _{i=1}^{h}R_{i}=2{\rho \over S}l_{Ah}$
$U_{k}=U_{kA}+\sum _{h=1}^{k}U_{kh}=U_{A}-\sum _{h=1}^{k}R_{Ah}I_{h}$

dove $U_{kA}=U_{A}$ quando agisce solo il generatore all'estremità e $U_{kh}=-R_{Ah}I_{h}$ contributo di un singolo generatore di corrente (corrispondente ad ogni carico assorbito).

Dato che $U_{min}=U_{k}$ essendo la sezione di prelievo più lontana, si ricava:

$\Delta U=U_{A}-U_{k}=\sum _{h=1}^{k}R_{Ah}I_{h}=2{\rho \over S}\sum _{h=1}^{k}l_{Ah}I_{h}$

che è l'equazione dei momenti, perché la quantità $l_{Ah}I_{h}$ è detta momento elettrico in quanto è il prodotto di una lunghezza, intesa come braccio, per la corrente.

Da questa equazione, noti tutte le grandezze in gioco, si può ricavare S: sezione del conduttore.

Linea monofase a sbalzo[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una linea che alimenti k carichi di potenza nominale nota e posti a distanza note dall'estremità in cui è presente il generatore che alimenti al linea a tensione $U_{A}$ .

Si applica il teorema di sostituzione ai carichi, ponendo al loro posto generatori ideali di corrente; nella sezione h si ha:

$Z_{Ah}=\sum _{i=1}^{h}Z_{i}=R_{Ah}+jX_{Ah}=\left({2\rho \over S}+j2X_{l}\right)l_{Ah}$
$U_{k}=U_{kA}+\sum _{h=1}^{k}U_{kh}=U_{A}-\sum _{h=1}^{k}Z_{Ah}I_{h}$

assumendo che le tensioni dei carichi siano in fase fra di loro, si ottiene la caduta di tensione della linea:

$\Delta U=U_{A}-U_{k}=\sum _{h=1}^{k}R_{Ah}I_{h}\cos \varphi _{h}+\sum _{h=1}^{k}X_{Ah}I_{h}\sin \varphi _{h}$

la caduta di tensione è pari alla somma della caduta di tensione attiva e della caduta di tensione reattiva:

${\begin{cases}\Delta U_{a}=2{\rho \over S}\sum _{h=1}^{k}l_{Ah}I_{h}\cos \varphi _{h}=2{\rho \over S}\sum _{h=1}^{k}l_{Ah}I_{hr}\\\Delta U_{r}=2X_{l}\sum _{h=1}^{k}l_{Ah}I_{h}\sin \varphi _{h}=2X_{l}\sum _{h=1}^{k}l_{Ah}I_{hr}\end{cases}}$

equazione dei momenti nel caso di linea monofase.

Linee elettriche trifase[modifica | modifica wikitesto]

Per le linee elettriche trifasi simmetriche ed equilibrate, si può associare la rete monofase equivalente ricordando che l'impedenza longitudinale della linea trifase vale:

$Z_{Ah}=\sum _{i=1}^{h}Z_{i}=\left({\rho \over S}+j2X_{l}\right)l_{Ah}$

è uguale alla metà di quella che compete alla line monofase. Da ricordare anche che le tensioni trovate devono essere moltiplicate per ${\sqrt {3}}$ poiché sono tensioni concatenate.